無限級数(むげんきゅうすう)と無限等比級数(むげんとうひきゅうすう)

数列(すうれつ)a₁、a₂、a₃、…を順(じゅん)に足(た)した無限(むげん)級数(きゅうすう)$a_1+a_2+a_3+\cdots$を考(かんが)える。第(だい)n項(こう)までの和(わ)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$を部分(ぶぶん)和(わ)といい、$\lim_{n \to \infty}S_n$が存在(そんざい)するとき、この無限(むげん)級数(きゅうすう)は収束(しゅうそく)するといい、その極限値(きょくげんち)（新しいタブで開きます）を級数(きゅうすう)の和(わ)とする。

初項(しょこう)a（a≠0）、公(こう)比(ひ)rの等比(とうひ)数列(すうれつ)を並(なら)べた無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)$a+ar+ar^2+\cdots$は、第(だい)n項(こう)までの部分(ぶぶん)和(わ)が$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$（r≠1）という式(しき)だ。

|r|＜1のときrⁿは0に収束(しゅうそく)するので、$\mathbf{\lim_{n \to \infty}S_n=\frac{a}{1-r}}$が無限等比級数(むげんとうひきゅうすう)の和(わ)になる。|r|≧1のときはこの級数(きゅうすう)は発散(はっさん)する（a≠0のため）。

例題(れいだい)：初項(しょこう)2、公(こう)比(ひ)1／2の無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)$2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$の和(わ)を求(もと)めよ。

公(こう)比(ひ)1／2は絶対値(ぜったいち)が1未満(みまん)なので、この無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)は収束(しゅうそく)する。公式(こうしき)$\frac{a}{1-r}$にa＝2、r＝1／2を代入(だいにゅう)すると、$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$になる。

下(した)の図(ず)のように部分(ぶぶん)和(わ)を順(じゅん)に計算(けいさん)すると、2、3、3.5、3.75、…と4に近(ちか)づいていくようすが確(たし)かめられる。

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循環(じゅんかん)小数(しょうすう)0.999…を無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)の考(かんが)え方(かた)で確(たし)かめよう。0.999…は$0.9+0.09+0.009+\cdots$という初項(しょこう)0.9、公(こう)比(ひ)0.1の無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)とみることができる。

公式(こうしき)に当(あ)てはめると、和(わ)は$\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{0.9}{0.9}=1$になる。つまり0.999…＝1で、見(み)た目(め)が違(ちが)う2つの表(あらわ)し方(かた)が同(おな)じ数(かず)を表(あらわ)している。

下(した)の図(ず)のように、1辺(へん)が1の正方形(せいほうけい)を半分(はんぶん)、そのまた半分(はんぶん)、…と区切(くぎ)り続(つづ)けると、色(いろ)をつけた部分(ぶぶん)の面積(めんせき)の和(わ)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$は正方形(せいほうけい)全体(ぜんたい)の面積(めんせき)1にどこまでも近(ちか)づく。これも無限(むげん)等比(とうひ)級数(きゅうすう)（a＝1／2、r＝1／2）の和(わ)が$\frac{1/2}{1-1/2}=1$になることと対応(たいおう)している。

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