2つの円(えん)の位置(いち)関係(かんけい)と共通(きょうつう)接線(せっせん)

中学(ちゅうがく)では円(えん)と直線(ちょくせん)の位置(いち)関係(かんけい)や接線(せっせん)の性質(せいしつ)を学(まな)んだ。ここでは円(えん)が2つあるときの位置(いち)関係(かんけい)を、中心間(ちゅうしんかん)の距離(きょり)dと2つの半径(はんけい)r、r′で見(み)ていく。

2つの円(えん)の位置(いち)関係(かんけい)は、中心間(ちゅうしんかん)の距離(きょり)dと半径(はんけい)r、r′（r≧r′とする）の大小(だいしょう)で5つに分(わ)かれる。①$d > r + r'$なら2つの円(えん)は離(はな)れている。②$d = r + r'$なら外接(がいせつ)の位置(いち)関係(かんけい)だ。③$r - r' < d < r + r'$なら2点(てん)で交(まじ)わる。④$d = r - r'$なら内接(ないせつ)の位置(いち)関係(かんけい)だ。⑤$d < r - r'$なら一方(いっぽう)が他方(たほう)の内部(ないぶ)にある。

共通(きょうつう)接線(せっせん)の本数(ほんすう)も、位置(いち)関係(かんけい)によって決(き)まる値(あたい)だ。離(はな)れているときは外部(がいぶ)の接線(せっせん)2本(ほん)と内部(ないぶ)の接線(せっせん)2本(ほん)で4本(ほん)になる。外接(がいせつ)するときは内部(ないぶ)の接線(せっせん)が1本(ほん)に重(かさ)なり3本(ほん)だ。2点(てん)で交(まじ)わるときは外部(がいぶ)の接線(せっせん)2本(ほん)だけで2本(ほん)になる。内接(ないせつ)するときは1本(ほん)だけだ。一方(いっぽう)が内部(ないぶ)にあるときは共通(きょうつう)接線(せっせん)は0本(ほん)になる。

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例題(れいだい)：2つの円(えん)の半径(はんけい)がそれぞれ3cmと2cm、中心間(ちゅうしんかん)の距離(きょり)が13cmのとき、2つの円(えん)の間(あいだ)を通(とお)る共通(きょうつう)接線(せっせん)（内部(ないぶ)の共通(きょうつう)接線(せっせん)）の長(なが)さを求(もと)めよ。

大(おお)きい円(えん)の中心(ちゅうしん)から、小(ちい)さい円(えん)の半径(はんけい)の分(ぶん)だけ平行(へいこう)に移動(いどう)した点(てん)を考(かんが)えると、中心間(ちゅうしんかん)を結(むす)ぶ線分(せんぶん)を斜辺(しゃへん)、2つの半径(はんけい)の和(わ)3＋2＝5cmを1辺(へん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)ができる。

三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)より、求(もと)める長(なが)さは$\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$で、共通(きょうつう)接線(せっせん)の長(なが)さは12cm。

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共通(きょうつう)接線(せっせん)の長(なが)さがなぜ三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)で求(もと)まるか考(かんが)えよう。外部(がいぶ)の共通(きょうつう)接線(せっせん)の場合(ばあい)、大(おお)きい円(えん)の中心(ちゅうしん)Oから、小(ちい)さい円(えん)の半径(はんけい)と同(おな)じ距離(きょり)だけ接線(せっせん)と平行(へいこう)に移動(いどう)した点(てん)Hをとると、OHは接線(せっせん)と平行(へいこう)になる。

このとき、中心間(ちゅうしんかん)を結(むす)ぶ線分(せんぶん)を斜辺(しゃへん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)ができ、1辺(へん)は2つの半径(はんけい)の差(さ)$|r - r'|$になる。だから外部(がいぶ)の共通(きょうつう)接線(せっせん)の長(なが)さは$\sqrt{d^{2} - (r - r')^{2}}$。

内部(ないぶ)の共通(きょうつう)接線(せっせん)では、2つの円(えん)が接線(せっせん)をはさんで反対(はんたい)側(がわ)にあるので、直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の1辺(へん)は半径(はんけい)の和(わ)$r + r'$になる。だから内部(ないぶ)の共通(きょうつう)接線(せっせん)の長(なが)さは$\sqrt{d^{2} - (r + r')^{2}}$で求(もと)められる。