方べきの定理
ゾウ先生円を通る2直線の交点では、交点から円までの距離の積がいつも同じ値になるよ。接線のときは、その値が接線の長さの2乗になる。
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- 円の2つの弦が内部の点Pで交わるとき、PA×PB＝PC×PDが成り立つ（方べきの定理）。
- 円の外部の点Pから2本の割線を引いたときも、同じくPA×PB＝PC×PDが成り立つ。
- 割線と接線（新しいタブで開きます）が交わるときはPA×PB＝PT²（PTは接線の長さ）になる。
詳しく
公式
中学では、2つの三角形の相似条件（新しいタブで開きます）や、円に内接する四角形（新しいタブで開きます）の性質を学んだ。ここでは、円の内部や外部で交わる2直線に着目して、線分の長さの積がいつも一定になる性質を見ていく。
円の2つの弦ABとCDが円の内部の点Pで交わるとき、が成り立つ。円の外部の点Pから2つの割線を引き、円との交点をそれぞれA、B及びC、Dとするときも、同じくが成り立つ。
円の外部の点Pから割線と接線を引き、割線との交点をA、B、接線の接点をTとすると、が成り立つ。これらをまとめて方べきの定理という。
例題
例題：円の弦ABと弦CDが円の内部の点Pで交わっている。PA＝4cm、PB＝9cm、PC＝6cmのとき、PDの長さを求めよ。
方べきの定理より。
4×9＝36＝6×PDより、。
なぜそうなるか
弦ABと弦CDが円の内部の点Pで交わるとき、三角形PACと三角形PDBを比べる。対頂角（新しいタブで開きます）だから。
弧ADに対する円周角（新しいタブで開きます）だから。2組の角がそれぞれ等しいので、。
相似な図形は対応する辺の比が等しいから、PA：PD＝PC：PB。これを整理するとが得られる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/power-of-a-point/?from=print#quiz
円の弦ABとCDが円の内部の点Pで交わっている。PA＝3cm、PB＝8cm、PC＝4cmのとき、PDの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
PA×PB＝PC×PDより、3×8＝24＝4×PDなのでPD＝6cm。円の外部の点Pから2本の割線を引く。1本目の円との交点までの距離はPA＝6cm、PB＝10cm。2本目の交点までの距離がPC＝5cmのとき、PDの長さはどれか。
- ◯ 8cm
- ◯ 10cm
- ◯ 12cm
- ◯ 15cm
正解：12cm
方べきの定理よりPA×PB＝PC×PDなので6×10＝60＝5×PD、PD＝12cm。円の外部の点Pから引いた接線の長さPT＝8cm、割線との交点までの距離がPA＝4cmのとき、PBの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：16
PT²＝PA×PBより64＝4×PBなのでPB＝16cm。方べきの定理（弦が内部で交わる場合）を証明するとき、三角形PACと三角形PDBが相似になる根拠はどれか。
- ◯ 直角三角形の合同条件を満たすから
- ◯ 対頂角と、同じ弧に対する円周角がそれぞれ等しいから
- ◯ 3辺の比がすべて等しいから
- ◯ 2辺の比と間の角がそれぞれ等しいから
正解：対頂角と、同じ弧に対する円周角がそれぞれ等しいから
対頂角（新しいタブで開きます）∠APC＝∠DPBと、弧ADに対する円周角（新しいタブで開きます）∠ACP＝∠DBPが等しいことから、2組の角がそれぞれ等しく相似になる。
単元のポイント
- 方べきの定理 1点を通る2直線と円の交点でできる線分の長さの積が、2直線の選び方によらず一定になる性質
- 割線 円と2点で交わる直線