線分の比の作図と円の接線の作図
ゾウ先生接線の作図は、直径に対する円周角が90°になることがカギだよ。長さ√aの線分も、直角三角形の高さを使えば作図できる。
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- 線分ABをm：nに分ける内分点（新しいタブで開きます）・外分点は、平行線が線分を同じ比に分ける性質を使って作図する。
- 円の外部の点Pを通る接線（新しいタブで開きます）は、線分OPを直径とする円と、もとの円との交点を接点にして作図する。
- 長さ√aの線分は、長さa＋1の線分を直径とする半円をかき、分け目から立てた垂線の高さとして作図できる。
詳しく
公式
中学では、角の二等分線・垂直二等分線（新しいタブで開きます）・垂線の作図を学んだ。ここでは、線分を比に分ける点や、円の外部の点を通る接線の作図を見ていく。
線分ABをm：nに内分する点は、Aから別方向に補助の半直線を引き、長さの単位をm個、続けてn個分とった点Cを決め、CとBを結ぶ直線に平行な線をm番目の分け目からひいて求める。外分点も同じ考え方で、ABの延長上に補助線をとって求める。
円Oの外部の点Pを通る接線は、線分OPを直径とする円をかき、もとの円Oとの交点を接点にすればよい。直径に対する円周角（新しいタブで開きます）は90°になるので、その交点と中心Oを結ぶ半径に接線が垂直になる。
例題
例題：円Oの半径3cm、中心Oから外部の点Pまでの距離が5cmのとき、Pから引いた接線の長さPTを求めよ。
接線PTは接点Tで半径OTに垂直になるので、三角形OPTはの直角三角形。
三平方の定理（新しいタブで開きます）よりで、接線の長さは4cm。
なぜそうなるか
接線の作図で線分OPを直径とする円を使うのは、直径に対する円周角がつねに90°になるから（タレスの定理）。線分OPを直径とする円周上の点Tはになるので、OTとPTはつねに垂直になる。接点を通る半径に垂直な直線が接線なので、この点Tを通る直線PTが求める接線だ。
長さ√aの線分は、長さa＋1の線分を直径とする半円をかき、aと1の分け目の点から垂線を立てて半円との交点までの高さを測れば作図できる。直角三角形の高さは、分けた2つの線分の長さ（aと1）の比例中項になるので、高さの2乗がになり、高さが√aになる。
内分点の作図で平行線を使うのは、平行線が線分を同じ比に分けるという、三角形と比（新しいタブで開きます）の関係を利用しているからだ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/advanced-geometric-constructions/?from=print#quiz
円の半径が5cm、中心から外部の点Pまでの距離が13cmのとき、Pから引いた接線の長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：12
三平方の定理（新しいタブで開きます）よりPT＝√(13²−5²)＝12cm。円の外部の点Pを通る接線を作図するとき、線分OPを直径とする円を使う理由はどれか。
- ◯ 弦の長さが等しくなるから
- ◯ 相似な三角形ができるから
- ◯ 円に内接する四角形になるから
- ◯ 直径に対する円周角が90°になるから（タレスの定理）
正解：直径に対する円周角が90°になるから（タレスの定理）
線分OPを直径とする円周上の点は、直径OPの円周角（新しいタブで開きます）が90°になるので、接点（新しいタブで開きます）を通る半径に垂直な直線（接線）が作図できる。線分ABの延長上に点Dをとり、AD：DB＝m：nとなるようにする作図は、内分点・外分点のどちらの作図か。
- ◯ 外分点
- ◯ 内分点
正解：外分点
点が線分ABの延長上（外側）にあるので、外分点の作図である。長さ3の線分を、長さ2と1の部分に分けて直径とする半円をかき、分け目から垂線を立てる。垂線の高さはどれか（これは√2の作図になる）。
- ◯ 1.5
- ◯ √2
- ◯ 2
- ◯ 3
正解：√2
垂線の高さの2乗は、分けた2つの長さの積（比例中項の2乗）になるので2×1＝2。高さは√2になる。
単元のポイント
- 内分点（新しいタブで開きます） 線分を内側で与えられた比に分ける点
- 外分点（新しいタブで開きます） 線分の延長上で与えられた比に分ける点
- 線分を直径とする円 円周上の点から見ると、その線分はつねに90°に見える。接線の作図に使う