立体の体積と回転体の体積
ゾウ先生回転体の体積はπをつけ忘れやすい。断面が円であることを図で確かめてからπ∫f²dxを使おう。
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- 立体をx軸に垂直な薄い断面に分け、断面積S(x)を積分区間で定積分（新しいタブで開きます）すると立体の体積になる。
- x軸の回りに回転させてできる立体は、断面がすべて円になる。半径はその場所でのf(x)の値になる。
- 回転体の体積はV＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dxで求まる。断面積πr²のrにf(x)を当てはめた形だ。
詳しく
公式
立体をx軸に垂直な薄い板（断面）の積み重ねと見ると、断面積をS(x)としたとき、立体の体積はで求まる。これは角錐や円錐の体積の求め方を一般化した考え方だ。
曲線y＝f(x)とx軸で囲まれた図形を、区間a≦x≦bでx軸の回りに1回転させると、x座標ごとの断面はすべて半径|f(x)|の円になる。円の面積（新しいタブで開きます）はなので、
（a＜b）が回転体の体積の公式になる。断面積の積分の式に、円の面積πr²を当てはめた形だと考えると覚えやすい。
例題
例題：y＝√xとx軸、直線x＝4で囲まれた図形をx軸の回りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
なので、になる。
体積は。
もう1つ、回転させない例として、断面が辺xの正方形になっている立体（0≦x≦2）の体積は、。回転体でなくても、断面積が分かれば同じ考え方で体積が求まる。
なぜπ∫f²dxになるのか
下の図のように、回転体をx軸に垂直な薄い円板（厚さΔx）の積み重ねと考える。xの位置での円板の半径はf(x)、面積はπ{f(x)}²になる。
円板1枚の体積はおよそπ{f(x)}²×Δx。これをa≦x≦bの範囲で全部足すと、区分求積法と同じ考え方で、Δx→0の極限としてに一致する。
つまり回転体の体積の公式も、区分求積法と同じ「薄く分けて足し、幅を0に近づける」という定積分の考え方の応用になっている。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/volumes-of-solids-of-revolution/?from=print#quiz
曲線y＝f(x)とx軸で囲まれた図形を、区間a≦x≦bでx軸の回りに1回転させてできる立体の体積Vを表す式はどれか。
- ◯ V＝2π∫ₐᵇf(x)dx
- ◯ V＝π∫ₐᵇf(x)dx
- ◯ V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx
- ◯ V＝∫ₐᵇf(x)dx
正解：V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx
x軸の回りに回転させると、x座標ごとに半径|f(x)|の円の断面（円板）ができる。円の面積（新しいタブで開きます）はπ{f(x)}²なので、V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx。y＝√xとx軸、直線x＝4で囲まれた図形をx軸の回りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8π
f(x)＝√xなので{f(x)}²＝x。体積はπ∫₀⁴xdx＝π×[x²／2]₀⁴＝π×8＝8π。x軸に垂直な断面が辺の長さxの正方形になっている立体が、0≦x≦2の範囲にある。この立体の体積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8/3
断面積はS(x)＝x²なので、体積はV＝∫₀²S(x)dx＝∫₀²x²dx＝[x³／3]₀²＝8／3。回転体の体積を求める手順を、正しい順に並べよ。
- （ ）回転させる図形と軸を確かめる
- （ ）断面の半径をf(x)で表す
- （ ）π{f(x)}²を定積分する
- （ ）体積の値を求める
正解：回転させる図形と軸を確かめる → 断面の半径をf(x)で表す → π{f(x)}²を定積分する → 体積の値を求める
①回転させる図形と回転の軸を確かめる→②x座標ごとの断面（円）の半径をf(x)で表す→③断面積π{f(x)}²を積分区間で定積分（新しいタブで開きます）する→④体積の値を求める、の順になる。
単元のポイント
- 断面積の積分 V＝∫ₐᵇS(x)dx（S(x)はxでの断面積）
- 回転体の体積の公式 V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx（x軸の回りの回転）