曲線の長さと道のり
ゾウ先生変位と道のりは別の値。速度の符号が変わる区間では、道のりは絶対値をつけて積分しよう。
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- 曲線y＝f(x)の長さは、L＝∫√(1＋{f'(x)}²)dxで求まる。三平方の定理（新しいタブで開きます）をごく短い区間に当てはめた式だ。
- 数直線上を動く点の位置の変化（変位）は、速度v(t)をそのまま積分した∫v(t)dtで求まる。
- 道のり（新しいタブで開きます）は、速度の正負にかかわらず動いた距離の合計なので、∫|v(t)|dtのように絶対値（新しいタブで開きます）をつけて積分する。
詳しく
公式
曲線y＝f(x)の、a≦x≦bの部分の長さLを求める公式を作ろう。曲線をごく短い区間に分けると、1つの区間はほぼ直線とみなしてよい。
幅dx、高さ（新しいタブで開きます）dy（＝f'(x)dx）の直角三角形（新しいタブで開きます）を考えると、三平方の定理からその短い部分の長さはおよそになる。
これをa≦x≦bの範囲で全部足し合わせると、という曲線の長さの公式になる。
また、数直線上を動く点Pの座標がx＝f(t)、速度がv＝f'(t)のとき、時刻t₁からt₂までの位置の変化（変位）は、動いた距離の合計（道のり）はで求まる。
例題
例題：曲線の0≦x≦3の部分の長さを求めよ。
なので、。
長さは 。
別の例として、速度v(t)＝2t－4（0≦t≦3）で動く点の変位は∫₀³(2t－4)dt＝－3。一方、道のりはt＝2で速度の符号が変わることに注意して区間を分けて計算すると5になり、変位とは違う値になる。
なぜ変位と道のりは違うのか
速度v(t)が正のときは点は右（プラス方向）に、負のときは左（マイナス方向）に動く。変位はこの正負をそのまま足すので、行って戻った分が打ち消し合う。
下の図のように、v(t)＝2t－4のグラフはt＝2で0になり、0≦t＜2では負（左に動く）、2＜t≦3では正（右に動く）。変位はグラフの下側（負の部分）と上側（正の部分）の面積を正負そのまま足したもの。
道のりは、動いた向きにかかわらず移動した長さの合計なので、負の部分の面積も正として数える。だから道のりは変位より大きく（または絶対値が大きく）なることが多い。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/arc-length-and-distance-traveled/?from=print#quiz
曲線y＝f(x)の区間a≦x≦bの部分の長さLを表す式として正しいものはどれか。
- ◯ L＝∫ₐᵇf'(x)dx
- ◯ L＝∫ₐᵇ|f(x)|dx
- ◯ L＝∫ₐᵇ{f'(x)}²dx
- ◯ L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx
正解：L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx
曲線の長さは、各点での接線の傾き（新しいタブで開きます）f'(x)を使って、L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dxで求まる。三平方の定理（新しいタブで開きます）でds²＝dx²＋dy²と考えた式。曲線の0≦x≦3の部分の長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：14/3
f'(x)＝√xなので、1＋(f'(x))²＝1＋x。長さは 。数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの位置の変化（変位）を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-3
位置の変化はvを定積分（新しいタブで開きます）した値。∫₀³(2t－4)dt＝[t²－4t]₀³＝(9－12)－0＝－3。負の値は、最終的に出発点より3だけ戻っていることを表す。数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの道のりを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
道のり（新しいタブで開きます）は|v|を定積分した値。v(t)はt＝2で0になり、0≦t＜2では負、2＜t≦3では正。道のり＝∫₀²(4－2t)dt＋∫₂³(2t－4)dt＝4＋1＝5。変位の－3とは違う値になる。
単元のポイント
- 曲線の長さの公式 L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx
- 変位（新しいタブで開きます） ∫v(t)dt（速度をそのまま積分）
- 道のり（新しいタブで開きます） ∫|v(t)|dt（速度の絶対値を積分）