曲線で囲まれた図形の面積
ゾウ先生どちらの関数が上にあるかを図でまず確かめよう。上から下を引く順番を逆にすると面積が負になる。
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- 区間でf(x)≧g(x)なら、2曲線y＝f(x)とy＝g(x)で囲まれた面積はS＝∫{f(x)－g(x)}dxで求まる。
- 交点のx座標を先に求め、その区間でどちらが上かを確かめてから引く順番を決める。
- サイクロイド（新しいタブで開きます）のように媒介変数表示された曲線でも、定積分（新しいタブで開きます）を使って囲まれた図形の面積を求められる。
詳しく
公式
数学Ⅱでは、曲線とx軸、または簡単な2つの曲線で囲まれた面積（新しいタブで開きます）を学んだ。数学Ⅲでは、より一般の2曲線や、媒介変数表示された曲線にも考え方を広げる。
区間a≦x≦bでつねにが成り立つとき、2つの曲線y＝f(x)とy＝g(x)で囲まれた図形の面積Sは、で求まる。上にある関数から下にある関数を引くのがポイントだ。
媒介変数でx＝x(θ)、y＝y(θ)と表された曲線の面積も、にx＝x(θ)を代入し、と置き換えてθの定積分にすれば求められる。
例題
例題：y＝x＋2とy＝x²で囲まれた図形の面積を求めよ。
交点はより、なので、。
－1≦x≦2では直線が上、放物線（新しいタブで開きます）が下なので、面積は。計算するとになる。
もう1つの例として、半径aのサイクロイドx＝a(θ－sin（新しいタブで開きます）θ)、y＝a(1－cosθ)の1アーチとx軸で囲まれた面積は、置き換えて計算するとになることが知られている。
なぜ上から下を引くのか
下の図のように、幅Δxの細い縦の帯を考えると、帯の高さ（新しいタブで開きます）はその場所でのf(x)とg(x)の差になる。これは区分求積法と同じ考え方で、細い帯の面積を全部足したものが求める面積だ。
f(x)とg(x)のどちらが上かが交点を境に入れ替わる場合は、区間を分けて、それぞれで上から下を引く必要がある。上下を逆に引くと、帯の高さが負になって面積が小さく（または負に）出てしまう。
サイクロイドの面積も、x軸方向に細い帯を考える点は同じ。θが動く範囲でyとdxの積を足し合わせていると考えれば、媒介変数表示でも同じ発想で面積がとらえられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/area-of-regions-bounded-by-curves/?from=print#quiz
区間a≦x≦bでつねにf(x)≧g(x)のとき、2つの曲線y＝f(x)とy＝g(x)で囲まれた図形の面積Sを表す式として正しいものはどれか。
- ◯ S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx
- ◯ S＝∫ₐᵇ{f(x)＋g(x)}dx
- ◯ S＝∫ₐᵇf(x)dx
- ◯ S＝∫ₐᵇg(x)dx
正解：S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx
上にある関数から下にある関数を引いた差を積分すると、はさまれた部分の面積になる。S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx。y＝x＋2とy＝x²で囲まれた図形の面積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：9/2
2つのグラフの交点はx＋2＝x²よりx²－x－2＝0、(x－2)(x＋1)＝0でx＝－1,2。－1≦x≦2でx＋2≧x²なので、面積は∫₋₁²{(x＋2)－x²}dx＝9／2。半径aのサイクロイドx＝a(θ－sinθ)、y＝a(1－cosθ)（0≦θ≦2π）の1アーチと x軸で囲まれた面積は3πa²になる。a＝1のときの面積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3π
媒介変数表示（新しいタブで開きます）された曲線の面積は∫ydxをθの積分に置き換えて求める。サイクロイド1アーチの面積は3πa²になることが知られていて、a＝1なら3π。2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める手順を、正しい順に並べよ。
- （ ）交点のx座標を求める
- （ ）どちらの関数が上にあるか確かめる
- （ ）上－下の式を定積分する
- （ ）値を求めて面積とする
正解：交点のx座標を求める → どちらの関数が上にあるか確かめる → 上－下の式を定積分する → 値を求めて面積とする
①2つの式を連立して交点のx座標を求める→②その区間でどちらの関数が上にあるかを確かめる→③上から下を引いた式を積分区間で定積分（新しいタブで開きます）する→④値を求めて面積とする、の順になる。
単元のポイント
- 2曲線間の面積の公式 S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx（f≧gの区間）
- 交点のx座標 f(x)＝g(x)を解いて積分区間を決める
- サイクロイドの面積 半径aの1アーチの面積は3πa²