万有引力(ばんゆういんりょく)による位置(いち)エネルギーと宇宙(うちゅう)速度(そくど)

質量(しつりょう)$M$の天体(てんたい)の中心(ちゅうしん)から距離(きょり)$r$の位置(いち)にある質量(しつりょう)$m$の物体(ぶったい)は、天体(てんたい)から万有引力(ばんゆういんりょく)（新しいタブで開きます）$G\dfrac{Mm}{r^2}$を受(う)ける。万有引力(ばんゆういんりょく)も重力(じゅうりょく)と同(おな)じ保存力(ほぞんりょく)なので、位置(いち)エネルギー（新しいタブで開きます）を考(かんが)えてよい。距離(きょり)が限(かぎ)りなく大(おお)きい点(てん)（無限(むげん)遠(とお)）を基準(きじゅん)にとると、万有引力(ばんゆういんりょく)による位置(いち)エネルギーは$U=-G\dfrac{Mm}{r}$と表(あらわ)せる。

万有引力(ばんゆういんりょく)だけを受(う)けて運動(うんどう)する物体(ぶったい)では、運動(うんどう)エネルギーとの和(わ)が保存(ほぞん)され、$\dfrac12mv^2-G\dfrac{Mm}{r}$が一定(いってい)に保(たも)たれる。地表(ちひょう)から高(たか)さ$h$だけ上(あ)げたときの位置(いち)エネルギーの増加(ぞうか)は、$h$が地球(ちきゅう)の半径(はんけい)$R$より十分(じゅうぶん)小(ちい)さければ、$mgh$とほぼ等(ひと)しくなる。

地表(ちひょう)すれすれを円運動(えんうんどう)する人工(じんこう)衛星(えいせい)の速(はや)さを第(だい)一(いち)宇宙(うちゅう)速度(そくど)という。向心力(こうしんりょく)を重力(じゅうりょく)$mg$がまかなうので、$m\dfrac{v^2}{R}=mg$から$v_1=\sqrt{gR}$となる。地表(ちひょう)から打(う)ち上(あ)げた物体(ぶったい)が、地球(ちきゅう)の引力(いんりょく)を振(ふ)り切(き)って無限(むげん)遠(とお)まで離(はな)れるのに必要(ひつよう)な最小(さいしょう)の速(はや)さを第(だい)二(に)宇宙(うちゅう)速度(そくど)という。

例題(れいだい)1：$g=9.8$m/s²、地球(ちきゅう)の半径(はんけい)$R=6.4\times10^6$mとすると、第(だい)一(いち)宇宙(うちゅう)速度(そくど)は$v_1=\sqrt{9.8\times6.4\times10^6}\fallingdotseq7.9\times10^3$m/sで、およそ7.9km/sになる。この速(はや)さなら、地球(ちきゅう)を約(やく)85分(ぶん)で1周(しゅう)する。

例題(れいだい)2：無限(むげん)遠(とお)でちょうど速(はや)さが0になる打(う)ち上(あ)げを考(かんが)えると、力学的(りきがくてき)エネルギーの保存(ほぞん)から$\dfrac12mv_2^2-G\dfrac{Mm}{R}=0$。$GM=gR^2$を使(つか)うと、$v_2=\sqrt{2gR}=\sqrt2\,v_1\fallingdotseq$11.2km/sと求(もと)まる。

例題(れいだい)3：地球(ちきゅう)の中心(ちゅうしん)から$2R$の円軌道(えんきどう)を回(まわ)る人工(じんこう)衛星(えいせい)の速(はや)さは、$m\dfrac{v^2}{2R}=G\dfrac{Mm}{(2R)^2}$から$v=\sqrt{\dfrac{GM}{2R}}=\dfrac{v_1}{\sqrt2}\fallingdotseq$5.6km/s。高(たか)い軌道(きどう)を回(まわ)る衛星(えいせい)ほど、速(はや)さは遅(おそ)くなる。

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位置(いち)エネルギーは、その位置(いち)から基準(きじゅん)の位置(いち)まで動(うご)くあいだに保存力(ほぞんりょく)がする仕事(しごと)（新しいタブで開きます）で決(き)まる。距離(きょり)$r$の位置(いち)から無限(むげん)遠(とお)まで物体(ぶったい)を動(うご)かすとき、万有引力(ばんゆういんりょく)は運動(うんどう)と逆(ぎゃく)向(む)きに働(はたら)き続(つづ)けるので、する仕事(しごと)は負(ふ)で、大(おお)きさは$G\dfrac{Mm}{r}$になる。だから位置(いち)エネルギーは負(ふ)の値(あたい)をとる。

グラフにすると、$U$は天体(てんたい)に近(ちか)いほど深(ふか)く下(さ)がり、遠(とお)ざかるほど0に近(ちか)づく。物体(ぶったい)の力学的(りきがくてき)エネルギー$E$が負(ふ)なら、物体(ぶったい)は天体(てんたい)の引力(いんりょく)から抜(ぬ)け出(だ)せずに回(まわ)り続(つづ)け、$E$が0以上(いじょう)なら無限(むげん)遠(とお)まで離(はな)れていける。第(だい)二(に)宇宙(うちゅう)速度(そくど)は、ちょうど$E=0$になる打(う)ち上(あ)げの速(はや)さにあたる。

物理(ぶつり)基礎(きそ)で使(つか)った$U=mgh$は、地表(ちひょう)を基準(きじゅん)にした近似(きんじ)で、高(たか)さが地球(ちきゅう)の半径(はんけい)に比(くら)べて小(ちい)さいときに使(つか)える。人工(じんこう)衛星(えいせい)や惑星(わくせい)のように距離(きょり)が大(おお)きく変(か)わる運動(うんどう)では、万有引力(ばんゆういんりょく)が距離(きょり)の2乗(じょう)に反比例(はんぴれい)して弱(よわ)まることまで含(ふく)めた$U=-G\dfrac{Mm}{r}$の式(しき)を使(つか)う。

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