等速(とうそく)円運動(えんうんどう)と向心力(こうしんりょく)

半径(はんけい)$r$の円周上(えんしゅうじょう)を、一定(いってい)の速(はや)さ$v$で回(まわ)る運動(うんどう)を等速(とうそく)円運動(えんうんどう)という。中心(ちゅうしん)から見(み)た回転(かいてん)の角(かく)が1秒(びょう)あたりに増(ふ)える量(りょう)を角速度(かくそくど)$\omega$（単位(たんい)rad/s）という。時間(じかん)$t$の間(あいだ)に回(まわ)る角(かく)は$\omega t$で、その間(あいだ)に進(すす)む弧(こ)の長(なが)さは$r\omega t$なので、速(はや)さとの間(あいだ)に$v=r\omega$の関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。

円(えん)を1周(しゅう)する時間(じかん)を周期(しゅうき)$T$という。1周(しゅう)の長(なが)さは$2\pi r$だから、$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega}$と表(あらわ)せる。1秒(びょう)あたりの回転数(かいてんすう)$n$は周期(しゅうき)の逆数(ぎゃくすう)で、$n=\dfrac{1}{T}$（単位(たんい)は回(かい)/s）として求(もと)める。

速(はや)さが一定(いってい)でも、速度(そくど)（新しいタブで開きます）の向(む)きは円(えん)の接線(せっせん)方向(ほうこう)に変(か)わり続(つづ)けるので、物体(ぶったい)は加速度(かそくど)をもつ。この向心加速度(こうしんかそくど)は円(えん)の中心(ちゅうしん)を向(む)き、大(おお)きさは$a=r\omega^2=\dfrac{v^2}{r}$と表(あらわ)せる。質量(しつりょう)$m$の物体(ぶったい)にこの加速度(かそくど)を生(しょう)じさせる中心(ちゅうしん)向(む)きの合力(ごうりょく)（新しいタブで開きます）を向心力(こうしんりょく)といい、運動(うんどう)方程式(ほうていしき)（新しいタブで開きます）から$F=mr\omega^2=\dfrac{mv^2}{r}$と求(もと)められる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)1：質量(しつりょう)0.20kgの小球(しょうきゅう)が、半径(はんけい)0.40mの円周上(えんしゅうじょう)を角速度(かくそくど)5.0rad/sで等速(とうそく)円運動(えんうんどう)している。速(はや)さは$v=r\omega=0.40\times5.0=$2.0m/s、周期(しゅうき)は$T=\dfrac{2\pi}{5.0}\fallingdotseq$1.3sになる。

例題(れいだい)2：同(おな)じ小球(しょうきゅう)の向心加速度(こうしんかそくど)は$a=r\omega^2=0.40\times5.0^2=$10m/s²。向心力(こうしんりょく)は$F=ma=0.20\times10=$2.0Nで、ひもの張力(ちょうりょく)がこの向心力(こうしんりょく)の役目(やくめ)をはたしている。

例題(れいだい)3：半径(はんけい)を変(か)えずに速(はや)さを2倍(ばい)にすると、$F=\dfrac{mv^2}{r}$より向心力(こうしんりょく)は4倍(ばい)の8.0Nが必要(ひつよう)になる。ひもが切(き)れると向心力(こうしんりょく)がなくなり、小球(しょうきゅう)はその瞬間(しゅんかん)の速度(そくど)の向(む)き（接線(せっせん)方向(ほうこう)）へ飛(と)んでいく。

短(みじか)い時間(じかん)$\Delta t$の間(あいだ)に、物体(ぶったい)は中心(ちゅうしん)から見(み)て角(かく)$\omega\Delta t$だけ回(まわ)る。速度(そくど)も同(おな)じ角(かく)だけ向(む)きを変(か)えるので、前後(ぜんご)の速度(そくど)の矢印(やじるし)を始点(してん)をそろえて並(なら)べると、2辺(へん)の長(なが)さが$v$で頂角(ちょうかく)が$\omega\Delta t$の細(ほそ)い二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)ができる。

$\Delta t$が十分(じゅうぶん)に小(ちい)さいとき、速度(そくど)の変化(へんか)$\Delta v$の大(おお)きさは弧(こ)の長(なが)さとほぼ同(おな)じ$v\omega\Delta t$になり、その向(む)きは速度(そくど)に垂直(すいちょく)で、円(えん)の中心(ちゅうしん)を向(む)く。加速度(かそくど)の大(おお)きさは$\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v\omega$で、$v=r\omega$を入(い)れると$r\omega^2=\dfrac{v^2}{r}$が得(え)られる。

向心力(こうしんりょく)は、重力(じゅうりょく)や張力(ちょうりょく)、摩擦力(まさつりょく)（新しいタブで開きます）とは別(べつ)の新(あたら)しい力(ちから)ではなく、円運動(えんうんどう)をさせている力(ちから)の合力(ごうりょく)の呼(よ)び名(な)だ。ひもで回(まわ)すおもりなら張力(ちょうりょく)が、地球(ちきゅう)のまわりを回(まわ)る人工(じんこう)衛星(えいせい)なら万有引力(ばんゆういんりょく)（新しいタブで開きます）が、向心力(こうしんりょく)の役目(やくめ)をはたしている。

（押すと拡大して表示します）