万有引力(ばんゆういんりょく)の法則(ほうそく)

ニュートンは、リンゴが落(お)ちるのも月(つき)が地球(ちきゅう)のまわりを回(まわ)るのも、同(おな)じ力(ちから)によると考(かんが)えた。すべての物体(ぶったい)の間(あいだ)には互(たが)いに引(ひ)き合(あ)う力(ちから)が働(はたら)き、これを万有引力(ばんゆういんりょく)という。質量(しつりょう)$m_1$・$m_2$の2物体(ぶったい)が距離(きょり)$r$だけ離(はな)れているとき、万有引力(ばんゆういんりょく)の大(おお)きさは$F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$と表(あらわ)せる。

この関係(かんけい)を万有引力(ばんゆういんりょく)の法則(ほうそく)といい、比例定数(ひれいていすう)$G$を万有引力(ばんゆういんりょく)定数(ていすう)という。$G=6.67\times10^{-11}$N·m²/kg²ととても小(ちい)さいので、身(み)の回(まわ)りの物体(ぶったい)どうしの万有引力(ばんゆういんりょく)はふつう感(かん)じられない。2物体(ぶったい)が引(ひ)き合(あ)う力(ちから)は同(おな)じ大(おお)きさで逆(ぎゃく)向(む)きの、作用(さよう)（新しいタブで開きます）と反作用(はんさよう)の関係(かんけい)にある。

球形(きゅうけい)の天体(てんたい)が外(そと)の物体(ぶったい)に及(およ)ぼす万有引力(ばんゆういんりょく)は、天体(てんたい)の質量(しつりょう)がすべて中心(ちゅうしん)に集(あつ)まっているとして計算(けいさん)できる。地球(ちきゅう)の質量(しつりょう)を$M$、半径(はんけい)を$R$とすると、地表(ちひょう)の質量(しつりょう)$m$の物体(ぶったい)が受(う)ける重力(じゅうりょく)はほぼ$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$となるので、$GM=gR^2$の関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。

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例題(れいだい)1：質量(しつりょう)50kgの2人(ふたり)が1.0m離(はな)れて立(た)っているとき、2人(ふたり)の間(あいだ)の万有引力(ばんゆういんりょく)は$F=6.67\times10^{-11}\times\dfrac{50\times50}{1.0^2}\fallingdotseq$1.7×10⁻⁷N。1円玉(えんだま)1枚(まい)に働(はたら)く重力(じゅうりょく)（約(やく)0.0098N）の約(やく)6万(まん)分(ぶん)の1しかない。

例題(れいだい)2：重力(じゅうりょく)加速度(かそくど)（新しいタブで開きます）$g=9.8$m/s²と地球(ちきゅう)の半径(はんけい)$R=6.4\times10^6$mを$GM=gR^2$に入(い)れると、地球(ちきゅう)の質量(しつりょう)は$M=\dfrac{9.8\times(6.4\times10^6)^2}{6.67\times10^{-11}}\fallingdotseq$6.0×10²⁴kgと求(もと)まる。

例題(れいだい)3：地表(ちひょう)から高(たか)さ$R$の位置(いち)では、地球(ちきゅう)の中心(ちゅうしん)からの距離(きょり)が2倍(ばい)になるので、万有引力(ばんゆういんりょく)は地表(ちひょう)の$\dfrac{1}{2^2}=\dfrac14$倍(ばい)になる。地表(ちひょう)で588Nの重力(じゅうりょく)を受(う)ける60kgの人(ひと)なら、そこでは147Nに減(へ)る。

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ニュートンは、ケプラーの第(だい)3法則(ほうそく)（新しいタブで開きます）$\dfrac{T^2}{r^3}=k$と円運動(えんうんどう)の向心力(こうしんりょく)（新しいタブで開きます）$mr\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2$を組(く)み合(あ)わせ、惑星(わくせい)を引(ひ)く力(ちから)が$\dfrac{4\pi^2}{k}\cdot\dfrac{m}{r^2}$になることを導(みちび)いた。さらに作用(さよう)反作用(はんさよう)の関係(かんけい)から、力(ちから)は太陽(たいよう)の質量(しつりょう)にも比例(ひれい)すると考(かんが)え、$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$の形(かたち)にたどりついた。

逆(ぎゃく)2乗(じょう)の関係(かんけい)は、電球(でんきゅう)の光(ひかり)が四方(しほう)へ広(ひろ)がるときの明(あか)るさとよく似(に)ている。中心(ちゅうしん)から距離(きょり)$r$の球面(きゅうめん)の面積(めんせき)は$4\pi r^2$なので、距離(きょり)が2倍(ばい)になると同(おな)じ影響(えいきょう)が4倍(ばい)の面積(めんせき)に広(ひろ)がり、1か所(しょ)あたりの強(つよ)さは$\dfrac14$になる。

地上(ちじょう)で測(はか)る重力(じゅうりょく)は、厳密(げんみつ)には地球(ちきゅう)の万有引力(ばんゆういんりょく)と、地球(ちきゅう)の自転(じてん)（新しいタブで開きます）による遠心力(えんしんりょく)（新しいタブで開きます）の合力(ごうりょく)（新しいタブで開きます）になる。遠心力(えんしんりょく)は赤道上(せきどうじょう)でも万有引力(ばんゆういんりょく)の約(やく)300分(ぶん)の1と小(ちい)さいので、高校(こうこう)の計算(けいさん)ではふつう無視(むし)して、重力(じゅうりょく)と万有引力(ばんゆういんりょく)を等(ひと)しいとみなす。