ばね振(ふ)り子(こ)と単振(たんふ)り子(こ)の周期(しゅうき)

なめらかな水平面(すいへいめん)の上(うえ)で、ばね定数(ていすう)$k$のばねに質量(しつりょう)$m$のおもりをつけ、自然(しぜん)の長(なが)さから$x$だけずらして放(はな)す。おもりに働(はたら)く弾性力(だんせいりょく)$F=-kx$が復元力(ふくげんりょく)になり、おもりは単(たん)振動(しんどう)をする。これをばね振(ふ)り子(こ)といい、周期(しゅうき)は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$となる。

長(なが)さ$L$の糸(いと)に質量(しつりょう)$m$のおもりをつけ、小(ちい)さく振(ふ)らせたものを単振(たんふ)り子(こ)という。振(ふ)れの角(かく)が小(ちい)さいとき、おもりはほぼ水平(すいへい)に単(たん)振動(しんどう)し、周期(しゅうき)は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$と表(あらわ)せる。周期(しゅうき)は糸(いと)の長(なが)さと重力(じゅうりょく)加速度(かそくど)（新しいタブで開きます）だけで決(き)まり、おもりの質量(しつりょう)にはよらない。

振(ふ)れが小(ちい)さい範囲(はんい)では、振(ふ)り子(こ)の周期(しゅうき)は振幅(しんぷく)にもよらない。この性質(せいしつ)を振(ふ)り子(こ)の等時性(とうじせい)といい、ガリレイが気(き)づいたとされる。振(ふ)り子(こ)時計(とけい)は、この性質(せいしつ)を使(つか)って一定(いってい)の間隔(かんかく)で時(とき)を刻(きざ)んでいる。

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例題(れいだい)1：ばね定数(ていすう)50N/mのばねに質量(しつりょう)0.50kgのおもりをつけたばね振(ふ)り子(こ)の周期(しゅうき)は、$T=2\pi\sqrt{\dfrac{0.50}{50}}=2\pi\times0.10\fallingdotseq$0.63sになる。

例題(れいだい)2：長(なが)さ0.98mの単振(たんふ)り子(こ)の周期(しゅうき)は、$T=2\pi\sqrt{\dfrac{0.98}{9.8}}=2\pi\sqrt{0.10}\fallingdotseq$2.0sとなる。

例題(れいだい)3：例題(れいだい)2の糸(いと)を4倍(ばい)の3.92mにすると、周期(しゅうき)は$\sqrt4=2$倍(ばい)の約(やく)4.0sになる。おもりを2倍(ばい)の質量(しつりょう)にかえても、周期(しゅうき)は2.0sのまま変(か)わらない。

糸(いと)が鉛直(えんちょく)から角(かく)$\theta$だけ傾(かたむ)いたとき、重力(じゅうりょく)$mg$の円弧(えんこ)に沿(そ)った成分(せいぶん)$mg\sin\theta$が、おもりを最下(さいか)点(てん)へ引(ひ)きもどす。角(かく)$\theta$が小(ちい)さいときは、最下(さいか)点(てん)からの水平(すいへい)のずれを$x$として$\sin\theta\fallingdotseq\dfrac{x}{L}$とみなせるので、復元力(ふくげんりょく)は$F=-\dfrac{mg}{L}x$と書(か)ける。

これは比例定数(ひれいていすう)$K=\dfrac{mg}{L}$の復元力(ふくげんりょく)なので、周期(しゅうき)は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$で、$m$は分母(ぶんぼ)と分子(ぶんし)（新しいタブで開きます）で消(き)える。重(おも)いおもりほど大(おお)きな復元力(ふくげんりょく)を受(う)けるが、そのぶん動(うご)かしにくいので、2つの効果(こうか)が打(う)ち消(け)し合(あ)う。

鉛直(えんちょく)につるしたばね振(ふ)り子(こ)では、つり合(あ)いの位置(いち)でばねが$\dfrac{mg}{k}$だけ伸(の)びている。そこから下(した)へ$x$ずれたときの合力(ごうりょく)（新しいタブで開きます）は$mg-k\left(\dfrac{mg}{k}+x\right)=-kx$で、水平(すいへい)の場合(ばあい)と同(おな)じ復元力(ふくげんりょく)になるため、周期(しゅうき)も$2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$のまま変(か)わらない。

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