ケプラーの法則(ほうそく)

17世紀(せいき)のはじめ、ケプラーはティコ・ブラーエが残(のこ)した惑星(わくせい)の観測(かんそく)資料(しりょう)を調(しら)べ、惑星(わくせい)の運動(うんどう)に3つの法則(ほうそく)を見(み)いだした。第(だい)1法則(ほうそく)は、惑星(わくせい)が太陽(たいよう)を1つの焦点(しょうてん)とする楕円(だえん)の軌道(きどう)を回(まわ)るというものだ。楕円(だえん)の長軸(ちょうじく)の半分(はんぶん)の長(なが)さを半長軸(はんちょうじく)$a$という。

第(だい)2法則(ほうそく)は、太陽(たいよう)と惑星(わくせい)を結(むす)ぶ線分(せんぶん)が一定(いってい)の時間(じかん)に通過(つうか)する面積(めんせき)が一定(いってい)だというもので、この面積(めんせき)を面積(めんせき)速度(そくど)という。近日(きんじつ)点(てん)の距離(きょり)と速(はや)さを$r_1$・$v_1$、遠日点(えんじつてん)の距離(きょり)と速(はや)さを$r_2$・$v_2$とすると、$\dfrac12r_1v_1=\dfrac12r_2v_2$の関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。

第(だい)3法則(ほうそく)は、公転(こうてん)周期(しゅうき)$T$の2乗(じょう)が半長軸(はんちょうじく)$a$の3乗(じょう)に比例(ひれい)するというものだ。$\dfrac{T^2}{a^3}=k$の$k$は、太陽(たいよう)のまわりを回(まわ)る惑星(わくせい)ならどれも同(おな)じ値(あたい)になる。地球(ちきゅう)の半長軸(はんちょうじく)を1天文(てんもん)単位(たんい)、公転(こうてん)周期(しゅうき)を1年(ねん)とする単位(たんい)を使(つか)えば、$k=1$と書(か)ける。

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例題(れいだい)1：ある彗星(すいせい)の近日(きんじつ)点(てん)距離(きょり)が1.0天文(てんもん)単位(たんい)、遠日点(えんじつてん)距離(きょり)が3.0天文(てんもん)単位(たんい)のとき、第(だい)2法則(ほうそく)から$1.0\times v_1=3.0\times v_2$なので、近日(きんじつ)点(てん)での速(はや)さは遠日点(えんじつてん)の3倍(ばい)になる。

例題(れいだい)2：同(おな)じ彗星(すいせい)の軌道(きどう)の半長軸(はんちょうじく)は$\dfrac{1.0+3.0}{2}=2.0$天文(てんもん)単位(たんい)。第(だい)3法則(ほうそく)から$T^2=2.0^3=8.0$で、公転(こうてん)周期(しゅうき)は$T=\sqrt{8.0}\fallingdotseq$2.8年(ねん)と求(もと)まる。

例題(れいだい)3：火星(かせい)の半長軸(はんちょうじく)は約(やく)1.52天文(てんもん)単位(たんい)なので、$T^2=1.52^3\fallingdotseq3.51$より、公転(こうてん)周期(しゅうき)は約(やく)1.87年(ねん)になる。観測(かんそく)された火星(かせい)の公転(こうてん)周期(しゅうき)（約(やく)1.88年(ねん)）とよく合(あ)う。

楕円(だえん)の軌道(きどう)を、半径(はんけい)$r$の円(えん)で近似(きんじ)して考(かんが)える。質量(しつりょう)$m$の惑星(わくせい)が周期(しゅうき)$T$で円運動(えんうんどう)するには、向心力(こうしんりょく)（新しいタブで開きます）$mr\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2$が必要(ひつよう)になる。この向心力(こうしんりょく)を、質量(しつりょう)$M$の太陽(たいよう)が及(およ)ぼす万有引力(ばんゆういんりょく)（新しいタブで開きます）$G\dfrac{Mm}{r^2}$がまかなっている。

2つを等(ひと)しいとおいて整理(せいり)すると$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$となり、右辺(うへん)には惑星(わくせい)の質量(しつりょう)$m$が入(はい)っていない。だから、同(おな)じ太陽(たいよう)のまわりを回(まわ)る惑星(わくせい)なら、$\dfrac{T^2}{r^3}$はどの惑星(わくせい)でも同(おな)じ値(あたい)になる。

第(だい)2法則(ほうそく)は、惑星(わくせい)に働(はたら)く力(ちから)がつねに太陽(たいよう)の方向(ほうこう)を向(む)いていることから導(みちび)かれる。ニュートンはケプラーの法則(ほうそく)を万有引力(ばんゆういんりょく)の法則(ほうそく)で説明(せつめい)し、天体(てんたい)の運動(うんどう)と地上(ちじょう)の落下(らっか)運動(うんどう)を同(おな)じ1つの力(ちから)で説明(せつめい)してみせた。

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