二項分布
ゾウ先生平均np・分散npqは、1回分の試行をn回足したものと考えれば思い出せるよ。
30秒でつかむ
- 二項分布B(n,p)は、起こる確率（新しいタブで開きます）pの試行をn回繰り返したとき、起こった回数Xが従う確率分布（新しいタブで開きます）だ。
- P(X＝k)＝nCk p^k q^(n-k)（q＝1−p）で求まり、平均はnp、分散（新しいタブで開きます）はnpqになる。
- 4枚の硬貨の例題で、表の枚数の確率分布と平均・分散を公式から求める。
詳しく
公式
起こる確率がpの試行を、独立にn回繰り返す。事象の起こる回数をXとする。
このときXは二項分布B(n,p)に従うといい、で求まる。qは1−pだ。
B(n,p)に従うXの平均はnp、分散はnpqになる。試行回数と確率から直接求まる。
例題
例題：4枚の硬貨を投げ、表の出る枚数をXとする。Xは二項分布B(4,1/2)に従う。
P(X＝2)はで求まり、6×1/16＝3/8になる。
平均はnp＝4×1/2＝2、分散はnpq＝4×1/2×1/2＝1だ。公式だけで求められる。
なぜそうなるか
二項分布はn個の独立なベルヌーイ型確率変数の和とみなせる。この見方から平均と分散の公式を導ける。
1回の試行をXk（起これば1、起こらなければ0）とすると、E(Xk)＝p、V(Xk)＝pqだ。
X＝X1+X2+…+Xnなので、和の期待値（新しいタブで開きます）はE(X)＝np。独立な和の分散もV(X)＝npqになる。
さいころを5回投げ1の目が出る回数のような例も、同じ考え方で二項分布B(5,1/6)に従う。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/binomial-distribution/?from=print#quiz
4枚の硬貨を投げ、表の出る枚数をXとする。P(X＝2)を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3/8
P(X＝2)＝₄C₂(1/2)²(1/2)²＝6×1/16＝3/8。B(4,1/2)に従う確率変数Xの平均を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
平均はnp＝4×1/2＝2。B(4,1/2)に従う確率変数Xの分散を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
分散（新しいタブで開きます）はnpq＝4×1/2×1/2＝1。二項分布B(n,p)に従う確率変数Xは、何の和とみなせるか。
- ◯ 母平均の推定値
- ◯ n個の正規分布の和
- ◯ n個の独立なベルヌーイ型確率変数の和
- ◯ 1個の確率変数をn倍した値
正解：n個の独立なベルヌーイ型確率変数の和
1回ごとの試行を0か1の確率変数（新しいタブで開きます）とみて、独立にn個足したものが二項分布になる。
単元のポイント
- B(n,p) 事象が起こる確率pの試行をn回繰り返したときの分布
- P(X＝k) ＝nCk p^k q^(n-k)。qは1−p
- 平均と分散 平均はnp、分散はnpq