確率変数の和と独立
ゾウ先生bを足しても散らばりは変わらない。分散にはaだけが効くと覚えよう。
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- 確率変数（新しいタブで開きます）Xをa倍してb足すと、期待値（新しいタブで開きます）はE(aX+b)＝aE(X)+b、分散（新しいタブで開きます）はV(aX+b)＝a²V(X)になる。
- 2つの確率変数X,Yが独立とは、P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つことだ。
- 独立なX,Yでは、和の期待値も分散も、それぞれの期待値・分散を足すだけで求まる。
詳しく
公式
確率変数Xをa倍してbを足した新しい確率変数をaX+bとする。
期待値はになる。1次式を作ると、期待値も同じ形で変わる。
分散は。bをいくら足しても散らばりは変わらない。
2つの確率変数X,Yが独立とは、どんなa,bでもP(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が成り立つことだ。
独立なX,Yでは、和の期待値も分散も足し算になる。E(X+Y)＝E(X)+E(Y)、V(X+Y)＝V(X)+V(Y)だ。
例題
例題：2枚の硬貨の表の枚数Xは、前のページでE(X)＝1、V(X)＝1/2だった。Y＝2X+3とすると、E(Y)＝2×1+3＝5、V(Y)＝2²×1/2＝2になる。
別の硬貨を1枚投げ、表なら1、裏なら0とする確率変数をWとする。E(W)＝1/2、V(W)＝1/4だ。
XとWが独立なら、E(X+W)＝1+1/2＝3/2。V(X+W)＝1/2+1/4＝3/4と、足すだけで求まる。
なぜそうなるか
E(aX+b)＝aE(X)+bが成り立つ理由は、定義の式をそのまま計算すれば分かる。
。後ろの項はΣpk＝1なので、aE(X)+bに整理できる。
和の分散は、独立なときだけ単純に足し算になる。値の組み合わせ方が確率（新しいタブで開きます）の積だけで決まるからだ。
独立でないと、XとYが同時に大きくなる・小さくなるといった関係が分散に影響してしまう。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/sum-and-independence-of-random-variables/?from=print#quiz
確率変数Xについて E(X)＝1 のとき、Y＝2X+3の期待値E(Y)を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
E(Y)＝E(2X+3)＝2E(X)+3＝2×1+3＝5。確率変数Xについて V(X)＝1/2 のとき、Y＝2X+3の分散V(Y)を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
V(Y)＝V(2X+3)＝2²V(X)＝4×1/2＝2。bを足しても分散（新しいタブで開きます）は変わらない。確率変数X,Yが独立であるとは何か。
- ◯ E(X)＝E(Y)であること
- ◯ Xの値がYの値より常に大きいこと
- ◯ V(X)＝V(Y)であること
- ◯ P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つこと
正解：P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つこと
独立の定義は、どんなa,bの組についても確率（新しいタブで開きます）が積になることだ。期待値（新しいタブで開きます）や分散が等しいかとは関係ない。E(X)＝1、E(W)＝1/2のとき、E(X+W)を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3/2
確率変数（新しいタブで開きます）の和の期待値は、独立かどうかに関わらずE(X+W)＝E(X)+E(W)＝1+1/2＝3/2。
単元のポイント
- E(aX+b) ＝aE(X)＋b。1次式を作ると期待値も同じ形で変わる
- V(aX+b) ＝a²V(X)。bは散らばりに関係しない
- 独立 P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つこと