確率(かくりつ)の基本(きほん)性質(せいしつ)

確率(かくりつ)（新しいタブで開きます）を考(かんが)えるときの土台(どだい)を整理(せいり)しよう。同(おな)じ条件(じょうけん)でくり返(かえ)せる実験(じっけん)や観察(かんさつ)を試行(しこう)といい、試行(しこう)の結果(けっか)として起(お)こることがらを事象(じしょう)という。それ以上(いじょう)分(わ)けられない、起(お)こりうる結果(けっか)の1つ1つを根元事象(こんげんじしょう)という。

起(お)こりうる結果(けっか)全体(ぜんたい)の集(あつ)まりを全事象(ぜんじしょう)といい、$U$で表(あらわ)すことが多(おお)い。1つも結果(けっか)を含(ふく)まない集(あつ)まりを空事象(くうじしょう)といい、$\varnothing$で表(あらわ)す。確率(かくりつ)には$0\leq P(A)\leq 1$という性質(せいしつ)がある。さらに$P(U)=1$、$P(\varnothing)=0$も成(な)り立(た)つ。

事象(じしょう)$A$と事象(じしょう)$B$が同時(どうじ)には起(お)こらないとき、2つを排反事象(はいはんじしょう)という。排反(はいはん)な$A$と$B$については、和事象(わじしょう)の確率(かくりつ)を考(かんが)えよう。これは$\mathbf{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$という加法(かほう)定理(ていり)で求(もと)まる。

事象(じしょう)$A$が起(お)こらないという事象(じしょう)を$A$の余事象(よじしょう)という。$A$とその余事象(よじしょう)は排反(はいはん)で、合(あ)わせると全事象(ぜんじしょう)になる。だから$\mathbf{P(A\text{の余事象})=1-P(A)}$が成(な)り立(た)つ。

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例題(れいだい)：さいころを1回(かい)投(な)げる。事象(じしょう)$A$を「4以下(いか)の目(め)が出(で)る」、事象(じしょう)$B$を「奇数(きすう)の目(め)が出(で)る」とする。$A$と$B$の和事象(わじしょう)の確率(かくりつ)を求(もと)めよう。

$A=\{1,2,3,4\}$なので$P(A)=\dfrac{4}{6}$。$B=\{1,3,5\}$なので$P(B)=\dfrac{3}{6}$。$A$と$B$はどちらにも1と3が入(はい)っているので排反(はいはん)ではない。

共通(きょうつう)部分(ぶぶん)は$A\cap B=\{1,3\}$で$P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$。一般(いっぱん)には、$A$と$B$が重(かさ)なってもよい和事象(わじしょう)の確率(かくりつ)を考(かんが)えよう。これは$\mathbf{P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A\cup B)}$という公式(こうしき)で求(もと)められる。数値(すうち)を当(あ)てはめよう。$P(A\cup B)=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}$になる。計算(けいさん)すると$P(A\cup B)=\mathbf{\dfrac{5}{6}}$になる。

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確率(かくりつ)の求(もと)め方(かた)には、$A$と$B$が同時(どうじ)に起(お)こらないかどうかで使(つか)い分(わ)けが要(い)る。排反(はいはん)なら足(た)すだけでよいが、共通(きょうつう)部分(ぶぶん)があると、その部分(ぶぶん)を重複(じゅうふく)して数(かぞ)えてしまう。

$A$と$B$の両方(りょうほう)に入(はい)る根元事象(こんげんじしょう)は、$P(A)+P(B)$の中(なか)で2回数(かいすう)えられている。だから1回分(かいぶん)を引(ひ)いて$P(A\cap B)$を差(さ)し引(ひ)くと、正(ただ)しい和事象(わじしょう)の確率(かくりつ)になる。

確率(かくりつ)の求(もと)め方(かた)にも2通(とお)りある。根元事象(こんげんじしょう)が同様(どうよう)に確(たし)からしいときの比(ひ)で求(もと)めるのが論理(ろんり)的(てき)な確率(かくりつ)だ。試行(しこう)を多数(たすう)回(かい)くり返(かえ)したときの相対(そうたい)度数(どすう)（新しいタブで開きます）が近(ちか)づく値(あたい)で考(かんが)えるのが頻度(ひんど)確率(かくりつ)だ。さいころの目(め)の出方(でかた)は論理(ろんり)的(てき)な確率(かくりつ)で、画(が)びょうが上向(うわむ)きに落(お)ちる確率(かくりつ)のように理由(りゆう)から求(もと)めにくいものは頻度(ひんど)確率(かくりつ)で考(かんが)える。