二次曲線の平行移動と直線との共有点
ゾウ先生放物線・楕円・双曲線は原点中心の形だけじゃなく、ずらした位置でもよく出てくるよ。式のx,yを置き換えるだけで平行移動できることを押さえよう。
30秒でつかむ
- 原点中心の二次曲線をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動（新しいタブで開きます）すると、式のxをx−p、yをy−qに置き換えた式になる。
- 二次曲線と直線を連立させてできる2次方程式の判別式（新しいタブで開きます）Dの符号で、共有点の個数がわかる。
- D＞0なら共有点2個、D＝0なら接する(1個)、D＜0なら共有点0個になる。
詳しく
公式
原点中心の二次曲線を、x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動することを考えよう。
平行移動後の曲線上の点(X,Y)は、移動前の曲線上の点(x,y)を使うと、と表せる。
逆に解くと、になる。
これを元の式に代入する（新しいタブで開きます）と、平行移動後の式はxをx−p、yをy−qに置き換えた形だ。
例えば楕円（新しいタブで開きます）なら、になる。
二次曲線と直線を連立すると2次方程式ができ、その判別式Dの符号で共有点の個数がわかる。
D＞0なら共有点2個、D＝0なら接する1個、D＜0なら共有点0個だ。
例題
例題：放物線（新しいタブで開きます）と直線が接するとき、kの値を求めよ。
直線の式を変形したを放物線の式に代入するとになる。
整理するとになる。
接する条件は判別式が0になることなので、よってk＝1になる。
なぜそうなるか
kの値を変えると共有点の個数がどう変わるか、実際に見てみよう。
k＝−1ならで、共有点は2個になる。
k＝1ならで、直線は放物線に接する。
k＝2ならになり、共有点は0個だ。
kが小さいほど直線は上寄りを通り、放物線を2回横切りやすくなる。
kがちょうど1のとき、直線は放物線の1点だけに触れる位置まで持ち上がる。
平行移動した楕円でも、直線との共有点は同じ判別式の考え方で調べられるというわけだ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/conic-translation-and-intersection/?from=print#quiz
放物線y²＝4xと直線y＝x＋kが接するとき、kの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
x＝y－kを代入しy²－4y＋4k＝0。接する条件はD/4＝4－4k＝0、よってk＝1。放物線y²＝4xと直線y＝x＋kの共有点が2個であるためのkの条件として正しいものはどれか。
- ◯ k＞0
- ◯ k＜1
- ◯ k＜0
- ◯ k＞1
正解：k＜1
y²－4y＋4k＝0の判別式（新しいタブで開きます）はD/4＝4－4k。共有点2個はD＞0なので4－4k＞0、整理するとk＜1。楕円x²/9＋y²/4＝1をx軸方向に2、y軸方向に−1だけ平行移動した楕円の中心のy座標を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-1
元の中心(0,0)をx軸方向に2、y軸方向に−1だけ移すと、新しい中心は(2,−1)。y座標は−1。楕円x²/9＋y²/4＝1をx軸方向に2、y軸方向に−1だけ平行移動した楕円の方程式として正しいものはどれか。
- ◯ (x－2)²/4＋(y＋1)²/9＝1
- ◯ (x＋2)²/9＋(y－1)²/4＝1
- ◯ (x－2)²/9＋(y＋1)²/4＝1
- ◯ (x－2)²/9＋(y＋1)²/4＝0
正解：(x－2)²/9＋(y＋1)²/4＝1
xをx－2、yをy－(−1)＝y＋1に置き換えると、(x－2)²/9＋(y＋1)²/4＝1になる。
単元のポイント
- 平行移動の式 x軸方向p、y軸方向qの平行移動は、xをx−p、yをy−qに置き換える
- 判別式D 2次方程式ax²＋bx＋c＝0のD＝b²−4ac。符号で実数（新しいタブで開きます）解の個数がわかる
- 共有点の個数 D＞0で2個、D＝0で1個(接する)、D＜0で0個