接弦定理
ゾウ先生接線と弦がつくる角は、ふくらんだ側の弧に対する円周角とそっくり同じ大きさになるよ。四角形が円に内接するかは、対角の和が180°かどうかで見分けられる。
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- 円の接線（新しいタブで開きます）と、接点を通る弦がつくる角は、その角の内側にある弧に対する円周角（新しいタブで開きます）に等しい（接弦定理）。
- 四角形は、1組の対角の和が180°になる、またはある内角が向かいの頂点の外角に等しいとき、円に内接する。
- 接弦定理は、接点を通る直径を補助線にひき、直径に対する円周角が90°になることを使って示せる。
詳しく
公式
中学校では、円に内接する四角形（新しいタブで開きます）で向かい合う角（対角）の和が180°になることを学んだ。
この性質から、四角形の1つの内角に注目すると、その向かいの頂点にできる外角はもとの内角と等しくなる。四角形ABCDでなら、∠Aの向かいの外角は∠Cに等しい。逆に、1組の対角の和が180°になる、またはある内角が向かいの頂点の外角に等しくなる四角形は円に内接する。
円の接線と、接点を通る弦がつくる角には、もう1つの性質がある。接線ATと接点Aを通る弦ABのつくる角∠TABは、その角の内側にある弧ABに対する円周角∠ACBに等しい。これを接弦定理という。
例題
例題：円Oの点Aで接線ATを引く。弦ABと接線ATのつくる角∠TAB＝58°、弧ABをはさんで∠TABと反対側にある円周上の点Cで∠ABC＝70°のとき、∠BACを求めよ。
接弦定理より、。
三角形ABCの内角の和（新しいタブで開きます）は180°なので、だ。数値を入れるとになる。
なぜそうなるか
接点Aを通る直径ADをひく。ADは直径なので、円周上の点Bについて（直径に対する円周角）になる。
接線ATは半径（直径）OAに垂直だから。弦ABが∠TADの内側にあるとき、になる。直角三角形ABDでが成り立つ。
∠ADBと∠ACBは、弧ABに対する円周角で、点Dと点Cが弧ABに対して同じ側にあるので等しい。よってとなり、接弦定理が示された。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/tangent-chord-angle/?from=print#quiz
円の接線ATと接点Aを通る弦ABのつくる角∠TAB＝40°のとき、弧ABに対する円周角（接線と反対側にある点Cを頂点とする∠ACB）はどれか。
- ◯ 40°
- ◯ 50°
- ◯ 80°
- ◯ 140°
正解：40°
接弦定理より、接線（新しいタブで開きます）と弦のつくる角は、その角の内側の弧に対する円周角（新しいタブで開きます）に等しいので∠ACB＝∠TAB＝40°。四角形ABCDで∠A＝100°、∠C＝80°のとき、この四角形は円に内接するか。
- ◯ しない
- ◯ する
正解：する
対角の和が100°＋80°＝180°になるので、この四角形は円に内接する。円の接線ATと弦ABのつくる角∠TAB＝48°、円周上の点C（∠TABと反対側の弧上にある）で∠ABC＝65°のとき、∠BACの大きさを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：67
接弦定理より∠ACB＝48°。三角形の内角の和（新しいタブで開きます）から∠BAC＝180−48−65＝67°。接弦定理を証明するとき、接点Aを通ってひいた補助線はどれか。
- ◯ 垂線
- ◯ 弦
- ◯ 中線
- ◯ 直径
正解：直径
接点Aを通る直径をひくと、直径に対する円周角が90°になることを使って証明できる。
単元のポイント
- 接弦定理 円の接線と接点を通る弦のつくる角は、その角の内側の弧に対する円周角に等しい
- 四角形が円に内接する条件 1組の対角の和が180°になる、またはある内角が向かいの頂点の外角に等しいこと