極座標(きょくざひょう)と極方程式(きょくほうていしき)

平面上(へいめんじょう)に定点(ていてん)Oと半(はん)直線(ちょくせん)OXを決(き)める。

この点(てん)Oを極(きょく)、半(はん)直線(ちょくせん)OXを始線(しせん)という。

極(きょく)O以外(いがい)の点(てん)Pの位置(いち)は、線分(せんぶん)OPの長(なが)さrと、OXからOPへ測(はか)った角(かく)θの組(くみ)(r,θ)で決(き)まる。

この(r,θ)を点(てん)Pの極座標(きょくざひょう)という。

角θ(かくしーた)の大(おお)きさは弧(こ)度(ど)法(ほう)（新しいタブで開きます）で表(あらわ)す。

極(きょく)Oを原点(げんてん)、始線(しせん)OXをx軸(じく)の正(せい)の向(む)きに重(かさ)ねると、極座標(きょくざひょう)と直交(ちょっこう)座標(ざひょう)は$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$で結(むす)びつく。

平面上(へいめんじょう)の図形(ずけい)Fが極座標(きょくざひょう)に関(かん)する方程式(ほうていしき)を満(み)たす点(てん)の集合(しゅうごう)であるとき、その方程式(ほうていしき)を図形(ずけい)Fの極方程式(きょくほうていしき)という。

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例題(れいだい)：極座標(きょくざひょう)が(4,60°)である点(てん)Pを直交(ちょっこう)座標(ざひょう)(x,y)で表(あらわ)せ。

$x=r\cos\theta$より$x=4\cos60°=4\times\frac{1}{2}=2$になる。

$y=r\sin\theta$より$y=4\sin60°$になり、点(てん)Pは直交(ちょっこう)座標(ざひょう)で$(2,\ 2\sqrt3)$と表(あらわ)せる。

このように、極座標(きょくざひょう)の点(てん)はいつでも直交(ちょっこう)座標(ざひょう)に変換(へんかん)できる。

中心(ちゅうしん)(2,0)、半径(はんけい)2の円(えん)が、なぜ極方程式(きょくほうていしき)r＝4cosθで表(あらわ)せるのかを見(み)てみよう。

この円(えん)の方程式(ほうていしき)（新しいタブで開きます）は$(x-2)^2+y^2=4$で、展開(てんかい)すると$x^2+y^2=4x$になる。

$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$を代入(だいにゅう)すると$r^2=4r\cos\theta$になる。

r≠0のとき両辺(りょうへん)をrで割(わ)ると、結果(けっか)は$r=4\cos\theta$という式(しき)になる。それが円(えん)の極方程式(きょくほうていしき)だ。

これは、原点(げんてん)を通(とお)り中心(ちゅうしん)が極座標(きょくざひょう)の始線上(しせんじょう)にある円(えん)の極方程式(きょくほうていしき)の形(かたち)になっている。

一般(いっぱん)に、中心(ちゅうしん)(a,0)、半径(はんけい)aの円(えん)はr＝2a cosθと表(あらわ)せる。

極方程式(きょくほうていしき)は、原点(げんてん)を通(とお)る円(えん)や渦巻(うずま)き状(じょう)の曲線(きょくせん)を直交(ちょっこう)座標(ざひょう)より簡潔(かんけつ)に表(あらわ)せる、便利(べんり)な道具(どうぐ)だ。

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