確率(かくりつ)変数(へんすう)の期待値(きたいち)・分散(ぶんさん)・標準偏差(ひょうじゅんへんさ)

確率(かくりつ)変数(へんすう)（新しいタブで開きます）Xの期待値(きたいち)E(X)は、xkの値(あたい)と確率(かくりつ)pkの積(せき)を全部(ぜんぶ)足(た)した値(あたい)だ。

式(しき)で書(か)くと$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$になる。平均(へいきん)的(てき)に期待(きたい)できる値(あたい)を表(あらわ)す。

分散(ぶんさん)V(X)は、期待値(きたいち)mからの偏差(へんさ)(xk−m)を2乗(じょう)し、それぞれ確率(かくりつ)をかけて足(た)した値(あたい)だ。

式(しき)は$V(X)=\sum(x_k-m)^2p_k$で、別(べつ)の式(しき)$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$でも求(もと)まる。

分散(ぶんさん)の平方根(へいほうこん)（新しいタブで開きます）が標準偏差(ひょうじゅんへんさ)σ(X)。$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$で、元(もと)の値(あたい)と同(おな)じ単位(たんい)になる。

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例題(れいだい)：3枚(まい)の硬貨(こうか)を投(な)げ、表(おもて)の出(で)る枚数(まいすう)をXとする。確率(かくりつ)分布(ぶんぷ)はX＝0,1,2,3でP＝1/8,3/8,3/8,1/8だ。

期待値(きたいち)はE(X)＝0×1/8＋1×3/8＋2×3/8＋3×1/8で、計算(けいさん)すると3/2になる。

分散(ぶんさん)は偏差(へんさ)の2乗(じょう)の式(しき)で求(もと)める。$(0-\frac{3}{2})^2\cdot\frac{1}{8}$から4つの項(こう)を足(た)すと3/4になる。

別(べつ)の式(しき)でも確(たし)かめよう。E(X²)は0²×1/8＋1²×3/8＋2²×3/8＋3²×1/8＝3。V(X)＝3−(3/2)²＝3/4で一致(いっち)する。

分散(ぶんさん)で偏差(へんさ)を2乗(じょう)する理由(りゆう)は、偏差(へんさ)の正負(せいふ)を打(う)ち消(け)さないためだ。そのまま足(た)すと合計(ごうけい)は必(かなら)ず0になる。

2乗(じょう)すれば正負(せいふ)は消(き)え、散(ち)らばりの大(おお)きさだけが残(のこ)る。これは度数(どすう)分布(ぶんぷ)の分散(ぶんさん)と同(おな)じ考(かんが)え方(かた)だ。

2つの式(しき)が等(ひと)しいことは$(x_k-m)^2$を展開(てんかい)すると分(わ)かる。$x_k^2-2mx_k+m^2$になる。

これを確率(かくりつ)pkで重(おも)みづけて足(た)すと$E(X^2)-2mE(X)+m^2$。E(X)＝mなので、E(X²)−m²に整理(せいり)できる。

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