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正多角形(せいたかくけい)の中心(ちゅうしん)の角(かく)と三角形(さんかくけい)

ゾウ先生正六角形(せいろっかくけい)だけ特別(とくべつ)になる理由(りゆう)を考(かんが)えよう。

30秒でつかむ

  1. 正多角形(せいたかくけい)（新しいタブで開きます）を中心(ちゅうしん)から頂点(ちょうてん)に結(むす)ぶと、合同(ごうどう)な二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)（新しいタブで開きます）に分(わ)かれる。
  2. 1つの三角形(さんかくけい)の中心(ちゅうしん)（新しいタブで開きます）にある角(かく)は、360度(ど)を辺(へん)の数(かず)でわった大(おお)きさになる。
  3. 正六角形(せいろっかくけい)だけは中心(ちゅうしん)の角(かく)も60度(ど)になり、正三角形(せいさんかくけい)6つに分(わ)かれる。

詳しく

中心(ちゅうしん)の角(かく)と三角形(さんかくけい)

正多角形(せいたかくけい)の中心(ちゅうしん)と、となり合(あ)う2つの頂点(ちょうてん)を結(むす)ぶと、三角形(さんかくけい)（新しいタブで開きます）が1つできる。これを頂点(ちょうてん)の数(かず)だけくり返(かえ)すと、正多角形(せいたかくけい)は合同(ごうどう)な二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)に分(わ)かれる。

1つの三角形(さんかくけい)の中心(ちゅうしん)にある角(かく)は、中心(ちゅうしん)のまわりの角(かく)（360度(ど)）を辺(へん)の数(かず)で等分(とうぶん)した大(おお)きさだ。2つの辺(へん)は半径(はんけい)なので長(なが)さが等(ひと)しく、二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)になる。

例題(れいだい)

例題(れいだい)：正六角形(せいろっかくけい)を中心(ちゅうしん)から6つの三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、どんな三角形(さんかくけい)になるか。中心(ちゅうしん)の角(かく)は360÷6＝60度(ど)だ。2つの辺(へん)は半径(はんけい)で等(ひと)しいので、二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)だ。残(のこ)りの2つの角(かく)は（180－60）÷2＝60度(ど)ずつになり、正三角形(せいさんかくけい)になる。

別(べつ)の例題(れいだい)：正十角形(せいじゅっかくけい)を中心(ちゅうしん)から10個(こ)の三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、中心(ちゅうしん)の角(かく)は360÷10＝36度(ど)になる。残(のこ)りの2つの角(かく)は（180－36）÷2＝72度(ど)ずつで、二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)になる。

正六角形は合同な正三角形6つに分かれるAsatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

なぜそうなるか

三角形(さんかくけい)の2つの辺(へん)は、どちらも円(えん)の半径(はんけい)なので、長(なが)さがぴったり等(ひと)しい。2つの辺(へん)が等(ひと)しい三角形(さんかくけい)は二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)である。

どの三角形(さんかくけい)も、2つの辺(へん)は半径(はんけい)で、残(のこ)りの1つの辺(へん)は正多角形(せいたかくけい)の辺(へん)だ。辺(へん)の長(なが)さの組(くみ)がどれも同(おな)じなので、正多角形(せいたかくけい)を分(わ)けてできる三角形(さんかくけい)はすべて合同(ごうどう)な二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)になる。

正六角形(せいろっかくけい)だけは特別(とくべつ)で、中心(ちゅうしん)の角(かく)がちょうど60度(ど)になる。そのため残(のこ)りの2つの角(かく)も60度(ど)ずつになり、3つの角(かく)がすべて60度(ど)の正三角形(せいさんかくけい)になる。

正十角形は中心角36度の二等辺三角形10個に分かれるAsatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

確認問題

問題 1 / 4正六角形(せいろっかくけい)を中心(ちゅうしん)から6つの合同(ごうどう)な三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、その三角形(さんかくけい)はどれになりますか。

確認問題（解答用紙）

この問題を端末で解くための QR コード

スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。

https://manazoo.com/math/regular-polygon-center-angle-and-triangles/?from=print#quiz

  1. 正六角形(せいろっかくけい)を中心(ちゅうしん)から6つの合同(ごうどう)な三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、その三角形(さんかくけい)はどれになりますか。

    • ◯　正三角形(せいさんかくけい)ではない二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)
    • ◯　どの三角形(さんかくけい)になるか分(わ)からない
    • ◯　直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)
    • ◯　正三角形(せいさんかくけい)

    正解：正三角形
    正六角形(せいろっかくけい)の中心(ちゅうしん)の角(かく)は360÷6＝60度(ど)だ。2つの辺(へん)は半径(はんけい)で等(ひと)しく、残(のこ)りの2つの角(かく)は（180－60）÷2＝60度(ど)ずつになる。3つの角(かく)がすべて60度(ど)なので正(せい)三角形(さんかくけい)（新しいタブで開きます）である。

  2. 正十角形(せいじゅっかくけい)を中心(ちゅうしん)から10個(こ)の合同(ごうどう)な三角形(さんかくけい)に分(わ)けました。1つの三角形(さんかくけい)の、中心(ちゅうしん)にある角(かく)は何度(なんど)ですか。

    答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

    正解：36
    中心(ちゅうしん)のまわりの角(かく)360度(ど)を10等分(とうぶん)するので、360÷10＝36度(ど)である。10個(こ)の三角形(さんかくけい)は、どれも中心(ちゅうしん)にある角(かく)が36度(ど)の合同(ごうどう)な二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)（新しいタブで開きます）になる。

  3. 正十五角形(せいじゅうごかくけい)を中心(ちゅうしん)から15個(こ)の合同(ごうどう)な三角形(さんかくけい)に分(わ)けました。1つの三角形(さんかくけい)の、中心(ちゅうしん)にある角(かく)は何度(なんど)ですか。

    答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

    正解：24
    中心(ちゅうしん)のまわりの角(かく)360度(ど)を15等分(とうぶん)するので、360÷15＝24度(ど)である。15個(こ)の三角形(さんかくけい)は、どれも中心(ちゅうしん)にある角(かく)が24度(ど)の合同(ごうどう)な二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)になる。

  4. 正八角形(せいはっかくけい)を中心(ちゅうしん)から8つの合同(ごうどう)な三角形(さんかくけい)に分(わ)けたとき、その三角形(さんかくけい)について正(ただ)しいのはどれですか。

    • ◯　直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)になる
    • ◯　二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)だが正三角形(せいさんかくけい)ではない
    • ◯　どんな形(かたち)になるか分(わ)からない
    • ◯　正三角形(せいさんかくけい)になる

    正解：二等辺三角形だが正三角形ではない
    正八角形(せいはっかくけい)の中心(ちゅうしん)の角(かく)は360÷8＝45度(ど)だ。正三角形(せいさんかくけい)なら3つの角(かく)がすべて60度(ど)になるので、45度(ど)の角(かく)がある三角形(さんかくけい)は正三角形(せいさんかくけい)ではない。2つの辺(へん)は半径(はんけい)で等(ひと)しいので、二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)になる。

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