定(てい)積分(せきぶん)と区分求積法(くぶんきゅうせきほう)

区間(くかん)[0,1]をn等分(とうぶん)すると、1つの長方形(ちょうほうけい)の幅(はば)は1／n。k番目(ばんめ)の長方形(ちょうほうけい)の右端(みぎはし)のxの値(あたい)は$\dfrac{k}{n}$になる。高(たか)さ（新しいタブで開きます）を$f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$とすると、長方形(ちょうほうけい)n個(こ)の面積(めんせき)の合計(ごうけい)（リーマン和(わ)）は$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}$。

長方形(ちょうほうけい)の幅(はば)を0に近(ちか)づける、つまりn→∞の極限(きょくげん)をとると、このリーマン和(わ)は$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$に一致(いっち)する。$\mathbf{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx}$という公式(こうしき)になる。

また、区間(くかん)で$f(x)\le g(x)$がつねに成(な)り立(た)つなら、$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\le\int_{a}^{b}g(x)\,dx$が成(な)り立(た)つ（定(てい)積分(せきぶん)と不等式(ふとうしき)）。長方形(ちょうほうけい)の面積(めんせき)で比(くら)べれば、幅(はば)をどれだけ細(こま)かくしても大小(だいしょう)は変(か)わらないことから納得(なっとく)できる。

例題(れいだい)：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$を求(もと)めよ。

この極限(きょくげん)は、f(x)＝x²としたときの区分(くぶん)求積(きゅうせき)の式(しき)そのものなので、$\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\,dx$に等(ひと)しい。

計算(けいさん)すると、$\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\mathbf{\frac{1}{3}}$。

もう1つ、0≦x≦1でつねに0≦sin（新しいタブで開きます） x≦xが成(な)り立(た)つことを使(つか)うと、$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin x\,dx\le\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}$と、値(あたい)を求(もと)めずに上(うえ)から評価(ひょうか)できる。

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下(した)の図(ず)のように、[0,1]を5個(こ)の長方形(ちょうほうけい)に分(わ)けて面積(めんせき)を足(た)すと、本当(ほんとう)の面積(めんせき)（曲線(きょくせん)の下(した)の部分(ぶぶん)）とのあいだに、すき間(ま)や出(で)っぱりが残(のこ)る。

長方形(ちょうほうけい)の数(かず)を増(ふ)やして幅(はば)を狭(せま)くするほど、すき間(ま)と出(で)っぱりの面積(めんせき)は小(ちい)さくなっていく。幅(はば)を0に近(ちか)づける極限(きょくげん)で、長方形(ちょうほうけい)の面積(めんせき)の合計(ごうけい)は曲線(きょくせん)の下(した)の面積(めんせき)にぴたりと一致(いっち)する。

この「細(こま)かく分(わ)けて足(た)し、幅(はば)を0に近(ちか)づける」という考(かんが)え方(かた)が区分求積法(くぶんきゅうせきほう)で、定(てい)積分(せきぶん)$\int_a^b f(x)\,dx$の記号(きごう)の$\int$（和(わ)を表(あらわ)す記号(きごう)Sを引(ひ)き伸(の)ばした形(かたち)）とdx自体(じたい)が、この極限(きょくげん)の考(かんが)え方(かた)を表(あらわ)している。

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