平面内(へいめんない)の衝突(しょうとつ)

運動(うんどう)量(りょう)はベクトルなので、平面内(へいめんない)の衝突(しょうとつ)では、衝突(しょうとつ)前(まえ)の運動(うんどう)量(りょう)の和(わ)と衝突後(しょうとつご)の運動(うんどう)量(りょう)の和(わ)がベクトルとして等(ひと)しくなる。$m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}=m_1\vec{v_1'}+m_2\vec{v_2'}$は、x方向(ほうこう)とy方向(ほうこう)に分(わ)けて扱(あつか)える。

x成分(せいぶん)は$m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=m_1v_{1x}'+m_2v_{2x}'$、y成分(せいぶん)は$m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=m_1v_{1y}'+m_2v_{2y}'$。成分(せいぶん)ごとに、一直線上(いっちょくせんじょう)の衝突(しょうとつ)と同(おな)じ形(かたち)の式(しき)が1本(ほん)ずつ成(な)り立(た)つ。

図(ず)で表(あらわ)すと、衝突後(しょうとつご)の2つの運動(うんどう)量(りょう)ベクトルを矢印(やじるし)の先(さき)と根元(ねもと)でつなげたとき、その和(わ)の矢印(やじるし)が衝突(しょうとつ)前(まえ)の運動(うんどう)量(りょう)ベクトルとぴったり重(かさ)なる。

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例題(れいだい)1：なめらかな水平面上(すいへいめんじょう)で、質量(しつりょう)1.0kgの小球(しょうきゅう)Aがx軸(じく)の正(せい)の向(む)きに4.0m/sで進(すす)み、静止(せいし)している同(おな)じ質量(しつりょう)の小球(しょうきゅう)Bに衝突(しょうとつ)した。衝突後(しょうとつご)、Aはx軸(じく)から上向(うわむ)きに60°の向(む)きへ2.0m/sで進(すす)んだ。

Bの速度(そくど)（新しいタブで開きます）のx成分(せいぶん)は$4.0-2.0\cos60°=3.0$m/s、y成分(せいぶん)は$0-2.0\sin60°=-\sqrt{3}$m/s（約(やく)−1.7m/s）。Bの速(はや)さは$\sqrt{3.0^2+3}=2\sqrt{3}$で、およそ3.5m/s。$\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3.0}$なので、向(む)きはx軸(じく)から下向(したむ)きに30°となる。

例題(れいだい)2：なめらかな水平面上(すいへいめんじょう)で、東(ひがし)向(む)きに3.0m/sで進(すす)む質量(しつりょう)2.0kgの物体(ぶったい)Aと、北(きた)向(む)きに6.0m/sで進(すす)む質量(しつりょう)1.0kgの物体(ぶったい)Bが衝突(しょうとつ)して一体(いったい)になった。運動(うんどう)量(りょう)の東(ひがし)向(む)きの成分(せいぶん)は$2.0\times3.0=6.0$kg·m/s、北(きた)向(む)きの成分(せいぶん)は$1.0\times6.0=6.0$kg·m/sで、衝突後(しょうとつご)もこの2つは変(か)わらない。

一体(いったい)になった物体(ぶったい)の運動(うんどう)量(りょう)の大(おお)きさは$\sqrt{6.0^2+6.0^2}=6\sqrt{2}$kg·m/s。質量(しつりょう)の和(わ)3.0kgで割(わ)ると、速(はや)さは$2\sqrt{2}$で約(やく)2.8m/s、向(む)きは北東(ほくとう)（東(ひがし)から北(きた)へ45°）である。

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力積(りきせき)$\vec{F}\Delta t$もベクトルなので、x方向(ほうこう)の力積(りきせき)はx方向(ほうこう)の運動(うんどう)量(りょう)だけを、y方向(ほうこう)の力積(りきせき)はy方向(ほうこう)の運動(うんどう)量(りょう)だけを変(か)える。内力(ないりょく)の力積(りきせき)は成分(せいぶん)ごとにも打(う)ち消(け)し合(あ)うので、x成分(せいぶん)の和(わ)もy成分(せいぶん)の和(わ)もそれぞれ保存(ほぞん)する。

例題(れいだい)1では、衝突(しょうとつ)前(まえ)のy成分(せいぶん)の和(わ)は0だった。衝突後(しょうとつご)にAが上向(うわむ)きの成分(せいぶん)をもつなら、Bは必(かなら)ず同(おな)じ大(おお)きさの下向(したむ)きの成分(せいぶん)をもち、y成分(せいぶん)の和(わ)は0のまま保(たも)たれる。

同(おな)じ質量(しつりょう)の小球(しょうきゅう)どうしが衝突(しょうとつ)し、運動(うんどう)エネルギー（新しいタブで開きます）も保存(ほぞん)する弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)（新しいタブで開きます）のときは、衝突後(しょうとつご)の2つの小球(しょうきゅう)は互(たが)いに直角(ちょっかく)の向(む)きに進(すす)む。例題(れいだい)1でもAは上向(うわむ)き60°、Bは下向(したむ)き30°で、2つの向(む)きの間(あいだ)の角(かく)は90°になっている。