反発(はんぱつ)係数(けいすう)

一直線上(いっちょくせんじょう)で2つの物体(ぶったい)が衝突(しょうとつ)するとき、衝突(しょうとつ)前(まえ)に近(ちか)づく速(はや)さに対(たい)する、衝突後(しょうとつご)に遠(とお)ざかる速(はや)さの比(ひ)を反発(はんぱつ)係数(けいすう)（はね返(かえ)り係数(けいすう)）といい、$e$で表(あらわ)す。

衝突(しょうとつ)前(まえ)の速度(そくど)（新しいタブで開きます）を$v_1$・$v_2$、衝突後(しょうとつご)の速度(そくど)を$v_1'$・$v_2'$とすると、$e=-\dfrac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}$となる。マイナスがつくのは、衝突(しょうとつ)の前(まえ)と後(あと)で相対(そうたい)速度(そくど)（新しいタブで開きます）の向(む)きが逆(ぎゃく)になるからである。

反発(はんぱつ)係数(けいすう)は$0\leq e\leq1$の値(あたい)をとる。$e=1$の衝突(しょうとつ)を弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)、$e<1$の衝突(しょうとつ)を非(ひ)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)といい、とくに$e=0$で2つの物体(ぶったい)が一体(いったい)となる衝突(しょうとつ)を完全(かんぜん)非(ひ)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)という。

動(うご)かない壁(かべ)や床(ゆか)に垂直(すいちょく)にぶつかるときは、$v_2=v_2'=0$とおけるので、$e=\dfrac{v'}{v}$（はね返(かえ)る速(はや)さ÷ぶつかる速(はや)さ）として扱(あつか)える。

例題(れいだい)1：速(はや)さ10m/sで床(ゆか)に垂直(すいちょく)にぶつかった小球(しょうきゅう)が、速(はや)さ6.0m/sではね返(かえ)った。反発(はんぱつ)係数(けいすう)は$e=6.0\div10=$0.60。

例題(れいだい)2：高(たか)さ2.5mから静(しず)かに落(お)とした小球(しょうきゅう)が床(ゆか)ではね返(かえ)る。床(ゆか)にぶつかる速(はや)さは$v=\sqrt{2\times9.8\times2.5}=7.0$m/s。反発(はんぱつ)係数(けいすう)が0.80なら、はね返(かえ)る速(はや)さは$0.80\times7.0=5.6$m/sで、上(あ)がる高(たか)さは$5.6^2\div(2\times9.8)=$1.6m。

例題(れいだい)3：なめらかな水平面上(すいへいめんじょう)で、右向(みぎむ)きに6.0m/sで進(すす)む質量(しつりょう)1.0kgの小球(しょうきゅう)Aが、静止(せいし)している質量(しつりょう)2.0kgの小球(しょうきゅう)Bに正面(しょうめん)衝突(しょうとつ)した。反発(はんぱつ)係数(けいすう)は0.50とする。運動(うんどう)量(りょう)保存(ほぞん)則(そく)（新しいタブで開きます）から$1.0\times6.0=1.0\,v_A'+2.0\,v_B'$、反発(はんぱつ)係数(けいすう)の式(しき)から$v_B'-v_A'=0.50\times6.0=3.0$の2式(しき)ができる。

2式(しき)を連立(れんりつ)して解(と)くと$v_A'=0$、$v_B'=3.0$m/s。衝突後(しょうとつご)、Aは止(と)まり、Bが右向(みぎむ)きに3.0m/sで動(うご)き出(だ)す。

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床(ゆか)に落(お)ちるまでと、はね上(あ)がってから最高点(さいこうてん)までは、どちらも重力(じゅうりょく)だけを受(う)ける運動(うんどう)なので、力学的(りきがくてき)エネルギー保存(ほぞん)則(そく)（新しいタブで開きます）から$v=\sqrt{2gh}$、$v'=\sqrt{2gh'}$と表(あらわ)せる。比(ひ)をとると$g$が消(き)え、$e=\dfrac{v'}{v}=\sqrt{\dfrac{h'}{h}}$が得(え)られる。

はね返(かえ)る高(たか)さは$h'=e^2h$なので、$e=0.80$の小球(しょうきゅう)は1回(かい)はね返(かえ)るごとに高(たか)さが0.64倍(ばい)になる。2.5mから落(お)とせば1.6m、その次(つぎ)は約(やく)1.0mと低(ひく)くなっていく。

反発(はんぱつ)係数(けいすう)は、ぶつかる2つの物体(ぶったい)の材質(ざいしつ)の組(く)み合(あ)わせでほぼ決(き)まる。同(おな)じ小球(しょうきゅう)でも、コンクリートの床(ゆか)と布団(ふとん)の上(うえ)とでは、はね返(かえ)り方(かた)が大(おお)きく違(ちが)う。

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