弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)と非(ひ)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)

衝突(しょうとつ)の前後(ぜんご)で運動(うんどう)量(りょう)の和(わ)は保存(ほぞん)するが、運動(うんどう)エネルギーの和(わ)まで保存(ほぞん)するとは限(かぎ)らない。どれだけ残(のこ)るかを決(き)めるのは、反発(はんぱつ)係数(けいすう)$e$の大(おお)きさだ。

$e=1$の弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)（完全(かんぜん)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)）では、運動(うんどう)エネルギーの和(わ)も保存(ほぞん)する。$e<1$の非(ひ)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)では運動(うんどう)エネルギーの和(わ)が減(へ)り、減(へ)り方(かた)がもっとも大(おお)きいのは、2つの物体(ぶったい)が一体(いったい)になる$e=0$の完全(かんぜん)非(ひ)弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)である。

水平面上(すいへいめんじょう)の衝突(しょうとつ)では重力(じゅうりょく)による位置(いち)エネルギー（新しいタブで開きます）は変(か)わらないので、運動(うんどう)エネルギーの減少(げんしょう)は、そのまま力学的(りきがくてき)エネルギーの減少(げんしょう)と等(ひと)しい。失(うしな)われた分(ぶん)は、物体(ぶったい)の変形(へんけい)や熱(ねつ)・音(おと)のエネルギーに変(か)わっている。

例題(れいだい)1：なめらかな水平面上(すいへいめんじょう)で、右向(みぎむ)きに3.0m/sで進(すす)む質量(しつりょう)2.0kgの小球(しょうきゅう)Aが、静止(せいし)している質量(しつりょう)2.0kgの小球(しょうきゅう)Bに正面(しょうめん)衝突(しょうとつ)する。衝突(しょうとつ)前(まえ)の運動(うんどう)エネルギーは$\dfrac{1}{2}\times2.0\times3.0^2=9.0$Jで、このうちどれだけが衝突後(しょうとつご)に残(のこ)るかを比(くら)べる。

$e=1$のとき、運動(うんどう)量(りょう)保存(ほぞん)則(そく)（新しいタブで開きます）の$v_A'+v_B'=3.0$と$v_B'-v_A'=3.0$から$v_A'=0$、$v_B'=3.0$m/s。Aが止(と)まり、Bが同(おな)じ速(はや)さで動(うご)き出(だ)す（速度(そくど)（新しいタブで開きます）の交換(こうかん)）。運動(うんどう)エネルギーは9.0Jのまま変(か)わらない。

$e=0.50$のとき、$v_B'-v_A'=1.5$から$v_A'=0.75$m/s、$v_B'=2.25$m/s。運動(うんどう)エネルギーの和(わ)は$\dfrac{1}{2}\times2.0\times(0.75^2+2.25^2)=5.625$Jとなり、約(やく)3.4Jが失(うしな)われる。

$e=0$のとき、2つの小球(しょうきゅう)は一体(いったい)になって1.5m/sで動(うご)く。運動(うんどう)エネルギーの和(わ)は$\dfrac{1}{2}\times4.0\times1.5^2=4.5$Jで、はじめの半分(はんぶん)の4.5Jが失(うしな)われる。

例題(れいだい)2：右向(みぎむ)きに4.0m/sで進(すす)む質量(しつりょう)1.0kgの小球(しょうきゅう)Aが、静止(せいし)している質量(しつりょう)3.0kgの小球(しょうきゅう)Bに弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)する。$1.0\times4.0=1.0\,v_A'+3.0\,v_B'$と$v_B'-v_A'=4.0$から$v_B'=2.0$m/s、$v_A'=-2.0$m/s。軽(かる)いAは左向(ひだりむ)きに2.0m/sではね返(かえ)される。

運動(うんどう)エネルギーは、衝突(しょうとつ)前(まえ)が$\dfrac{1}{2}\times1.0\times4.0^2=8.0$J、衝突後(しょうとつご)が$2.0+6.0=8.0$Jで、弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)なので等(ひと)しい。

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運動(うんどう)量(りょう)保存(ほぞん)則(そく)と反発(はんぱつ)係数(けいすう)の式(しき)から衝突後(しょうとつご)の速度(そくど)を求(もと)め、運動(うんどう)エネルギーを計算(けいさん)すると、失(うしな)われる運動(うんどう)エネルギー（衝突(しょうとつ)前(まえ)の和(わ)から衝突後(しょうとつご)の和(わ)をひいた量(りょう)）は$\dfrac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(1-e^2)(v_1-v_2)^2$となる。

$e=1$なら$1-e^2=0$で失(うしな)われる分(ぶん)はなく、$e$が小(ちい)さいほど$1-e^2$が大(おお)きくなって、$e=0$で最大(さいだい)になる。例題(れいだい)1でも、失(うしな)われた分(ぶん)は$e=1$で0、$e=0.50$で約(やく)3.4J、$e=0$で4.5Jと増(ふ)えていった。

床(ゆか)ではね返(かえ)る小球(しょうきゅう)でも同(おな)じことがいえる。はね返(かえ)る高(たか)さが$e^2$倍(ばい)になるのは、1回(かい)の衝突(しょうとつ)ごとに力学的(りきがくてき)エネルギーが$e^2$倍(ばい)に減(へ)っているためである。

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