電位(でんい)と電位差(でんいさ)

電場(でんば)の中(なか)に置(お)かれた電荷(でんか)は、静電気力(せいでんきりょく)による位置(いち)エネルギーをもつ。重力(じゅうりょく)による位置(いち)エネルギー（新しいタブで開きます）が高(たか)さで決(き)まるように、静電気力(せいでんきりょく)による位置(いち)エネルギーは電場(でんば)の中(なか)のどこにいるかで決(き)まる。電気(でんき)量(りょう)$q$の電荷(でんか)が位置(いち)エネルギー$U$をもつとき、$V=\dfrac{U}{q}$で定義(ていぎ)される量(りょう)を電位(でんい)という。電位(でんい)は1Cあたりの位置(いち)エネルギーで、単位(たんい)はV（ボルト、＝J/C）。

点(てん)電荷(でんか)$Q$から距離(きょり)$r$の点(てん)の電位(でんい)は$V=k\dfrac{Q}{r}$で表(あらわ)される。クーロンの法則(ほうそく)（新しいタブで開きます）の電場(でんば)$E=kQ/r^2$と違(ちが)って距離(きょり)の1乗(じょう)に反比例(はんぴれい)し、向(む)きをもたないスカラー量(りょう)である点(てん)にも注意(ちゅうい)する。$Q$が正(せい)なら電位(でんい)は正(せい)、負(ふ)なら電位(でんい)は負(ふ)だ。

2点(てん)A、Bの電位(でんい)をそれぞれ$V_A$、$V_B$とすると、電荷(でんか)$q$をAからBへ運(はこ)ぶ仕事(しごと)は$W=q(V_A-V_B)$で求(もと)められる。$V_A-V_B$を電位差(でんいさ)といい、正(せい)の電荷(でんか)は電位(でんい)の高(たか)いほうから低(ひく)いほうへ自然(しぜん)に力(ちから)を受(う)ける（重力(じゅうりょく)で物体(ぶったい)が高(たか)いところから低(ひく)いところへ落(お)ちるのと同(おな)じ向(む)きの関係(かんけい)）。

電場(でんば)の強(つよ)さ$E$が場所(ばしょ)によらず一定(いってい)の一様(いちよう)な電場(でんば)では、電場(でんば)の向(む)きに距離(きょり)$d$だけ離(はな)れた2点(てん)の電位差(でんいさ)は$V=Ed$になる。電位(でんい)が等(ひと)しい点(てん)を結(むす)んだ面(めん)を等電位(とうでんい)面(めん)といい、等電位(とうでんい)面上(めんじょう)を電荷(でんか)が動(うご)いても電位差(でんいさ)は0なので仕事(しごと)はされない。このことから、等電位(とうでんい)面(めん)は電気力(でんきりょく)線(せん)（電場(でんば)の向(む)き）に対(たい)して常(つね)に垂直(すいちょく)になる。

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例題(れいだい)1：5.0μCの点(てん)電荷(でんか)から0.50m離(はな)れた点(てん)の電位(でんい)は、$V=k\dfrac{Q}{r}=9.0\times10^9\times\dfrac{5.0\times10^{-6}}{0.50}=$9.0×10⁴V。この点(てん)に2.0μCの電荷(でんか)を置(お)くと、位置(いち)エネルギーは$U=qV=2.0\times10^{-6}\times9.0\times10^4=$0.18J。

例題(れいだい)2：強(つよ)さ2.0×10³N/Cの一様(いちよう)な電場(でんば)の中(なか)で、電場(でんば)の向(む)きに0.050mだけ離(はな)れた2点(てん)の電位差(でんいさ)は、$V=Ed=2.0\times10^3\times0.050=$100V。電場(でんば)の単位(たんい)N/Cは、このV＝Edの関係(かんけい)からV/mとも表(あらわ)せる（同(おな)じ量(りょう)を違(ちが)う単位(たんい)で表(あらわ)したもの）。

例題(れいだい)2のように、電場(でんば)が強(つよ)いほど、また2点(てん)の間隔(かんかく)が広(ひろ)いほど電位差(でんいさ)は大(おお)きくなる。逆(ぎゃく)に、電位差(でんいさ)と間隔(かんかく)が分(わ)かれば、$E=V/d$として一様(いちよう)な電場(でんば)の強(つよ)さを求(もと)めることもできる。

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ある面(めん)の上(うえ)のどの2点(てん)を選(えら)んでも電位(でんい)が等(ひと)しいなら、その面(めん)の上(うえ)で電荷(でんか)を動(うご)かしても電位差(でんいさ)は常(つね)に0であり、$W=q(V_A-V_B)=0$より仕事(しごと)は一切(いっさい)されない。仕事(しごと)は力(ちから)と移動(いどう)方向(ほうこう)の内積(ないせき)で決(き)まるので、仕事(しごと)が0になるのは、力(ちから)（電場(でんば)による力(ちから)）の向(む)きが移動(いどう)の向(む)きと垂直(すいちょく)なときに限(かぎ)られる。

したがって、等電位(とうでんい)面上(めんじょう)のどの向(む)きに動(うご)いても仕事(しごと)が0になるためには、その面上(めんじょう)のあらゆる向(む)きの移動(いどう)に対(たい)して電場(でんば)の向(む)きが垂直(すいちょく)でなければならない。これはつまり、電場(でんば)（電気力(でんきりょく)線(せん)）が等電位(とうでんい)面(めん)そのものに対(たい)して垂直(すいちょく)であるということを意味(いみ)する。

これは地図(ちず)の等高線(とうこうせん)とよく似(に)た関係(かんけい)だ。等高線(とうこうせん)に沿(そ)って歩(ある)けば高(たか)さは変(か)わらず、重力(じゅうりょく)にさからう仕事(しごと)もされない。山(やま)の斜面(しゃめん)を最(もっと)も急(きゅう)に登(のぼ)る向(む)き（重力(じゅうりょく)の向(む)き）は、いつも等高線(とうこうせん)に垂直(すいちょく)になる。電場(でんば)と等電位(とうでんい)面(めん)の関係(かんけい)も、これと同(おな)じ形(かたち)をしている。