コンデンサーの静電(せいでん)エネルギー

コンデンサーを電圧(でんあつ)0から$V$まで充電(じゅうでん)する間(あいだ)、電気(でんき)量(りょう)（新しいタブで開きます）$q$と電圧(でんあつ)$v=\dfrac{q}{C}$はつねに比例(ひれい)している（充電(じゅうでん)の終(お)わりの電気(でんき)量(りょう)を$Q$、途中(とちゅう)の値(あたい)を小文字(こもじ)の$q$で表(あらわ)す）。電圧(でんあつ)を横(よこ)軸(じく)、電気(でんき)量(りょう)を縦(たて)軸(じく)にとったV-qグラフは、原点(げんてん)から$(V,Q)$までの直線(ちょくせん)になる。電気(でんき)を送(おく)り込(こ)むのに必要(ひつよう)な仕事(しごと)は、このグラフの下側(したがわ)の面積(めんせき)（直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)）に等(ひと)しい。

三角形(さんかくけい)の面積(めんせき)は$\dfrac{1}{2}\times$底辺(ていへん)$\times$高(たか)さなので、コンデンサーにたくわえられる静電(せいでん)エネルギーは$U=\dfrac{1}{2}QV$。$Q=CV$を使(つか)うと$U=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{Q^2}{2C}$とも表(あらわ)せる。

一定(いってい)の電圧(でんあつ)$V$の電池(でんち)でコンデンサーを満(まん)たんに充電(じゅうでん)するとき、電池(でんち)が送(おく)り出(だ)す電気(でんき)量(りょう)は$Q=CV$で、電池(でんち)がした仕事(しごと)は$W=QV$（電池(でんち)はつねに電圧(でんあつ)$V$で電気(でんき)量(りょう)を送(おく)り出(だ)すため）。これは$U=\dfrac{1}{2}QV$のちょうど2倍(ばい)である。

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例題(れいだい)1：電気(でんき)容量(ようりょう)2.0μFのコンデンサーを100Vまで充電(じゅうでん)した。たくわえられる静電(せいでん)エネルギーはいくらか。$U=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{1}{2}\times2.0\times10^{-6}\times100^2=$1.0×10⁻²J（0.010J）。

例題(れいだい)2：例題(れいだい)1の充電(じゅうでん)で、電池(でんち)がした仕事(しごと)はいくらか。$Q=CV=2.0\times10^{-6}\times100=2.0\times10^{-4}$Cなので、$W=QV=2.0\times10^{-4}\times100=$2.0×10⁻²J（0.020J）。コンデンサーにたくわえられた0.010Jの、ちょうど2倍(ばい)である。

例題(れいだい)3：例題(れいだい)1・2で、電池(でんち)がした仕事(しごと)のうちコンデンサーにたくわえられなかったエネルギーはいくらか。$W-U=0.020-0.010=$1.0×10⁻²J（0.010J）。この分(ぶん)は、充電(じゅうでん)の間(あいだ)に導線(どうせん)や抵抗(ていこう)で熱(ねつ)として失(うしな)われる。

電池(でんち)は充電(じゅうでん)の間(あいだ)、常(つね)に電圧(でんあつ)$V$で電気(でんき)を送(おく)り出(だ)す。ところがコンデンサーの電圧(でんあつ)は0から$V$まで徐々(じょじょ)に上(あ)がっていくので、送(おく)り込(こ)まれた電気(でんき)量(りょう)の多(おお)くは、コンデンサーの電圧(でんあつ)がまだ低(ひく)いうちに、電池(でんち)の電圧(でんあつ)との差分(さぶん)だけ余分(よぶん)な仕事(しごと)をされて送(おく)り込(こ)まれたことになる。

その余分(よぶん)な仕事(しごと)は、導線(どうせん)や回路(かいろ)の抵抗(ていこう)を電流(でんりゅう)が流(なが)れるときに熱(ねつ)として失(うしな)われる。コンデンサーの電圧(でんあつ)が0から$V$まで比例(ひれい)して上(あ)がる限(かぎ)り、この損失(そんしつ)はつねに電池(でんち)がした仕事(しごと)のちょうど半分(はんぶん)だ。

放電(ほうでん)のときは逆(ぎゃく)に、コンデンサーにたくわえられたエネルギー$U$が電球(でんきゅう)を光(ひか)らせたり音(おと)を出(だ)したりする仕事(しごと)に使(つか)われる（放電(ほうでん)の抵抗(ていこう)で一部(いちぶ)は熱(ねつ)にもなる）。

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