運動(うんどう)エネルギーと仕事(しごと)の関係(かんけい)

質量(しつりょう)$m$、速(はや)さ$v$で運動(うんどう)する物体(ぶったい)がもつ運動(うんどう)エネルギーは$K=\dfrac12mv^2$で求(もと)める。単位(たんい)は仕事(しごと)と同(おな)じJ（ジュール）。速(はや)さが2倍(ばい)になると運動(うんどう)エネルギーは$2^2=4$倍(ばい)になる。

物体(ぶったい)に働(はたら)く力(ちから)の合力(ごうりょく)がする仕事(しごと)を$W$、運動(うんどう)エネルギーの変化(へんか)量(りょう)を$\Delta K$とすると、$\Delta K=W$という関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。これを運動(うんどう)エネルギーと仕事(しごと)の関係(かんけい)という。

この式(しき)から、合力(ごうりょく)が正(せい)の仕事(しごと)をすれば運動(うんどう)エネルギーは増(ふ)え（速(はや)くなる）、負(ふ)の仕事(しごと)をすれば運動(うんどう)エネルギーは減(へ)る（遅(おそ)くなる）ことが分(わ)かる。仕事(しごと)が0なら運動(うんどう)エネルギーも変(か)わらない。

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例題(れいだい)1：質量(しつりょう)4.0kg、速(はや)さ5.0m/sで運動(うんどう)する物体(ぶったい)の運動(うんどう)エネルギーは$\dfrac12\times4.0\times5.0^2=$50J。

例題(れいだい)2：質量(しつりょう)1.0kgの物体(ぶったい)が静止(せいし)状態(じょうたい)から、合力(ごうりょく)の仕事(しごと)8.0Jを受(う)けて動(うご)き出(だ)した。$\Delta K=8.0-0=8.0$Jなので、$\dfrac12\times1.0\times v^2=8.0$より$v^2=16$、$v=$4.0m/s。

例題(れいだい)3：質量(しつりょう)2.0kg、速(はや)さ4.0m/sで運動(うんどう)する物体(ぶったい)に、進行(しんこう)方向(ほうこう)と逆(ぎゃく)向(む)きの力(ちから)が合計(ごうけい)12Jの負(ふ)の仕事(しごと)をした。はじめの運動(うんどう)エネルギーは$\dfrac12\times2.0\times4.0^2=16$Jなので、あとの運動(うんどう)エネルギーは$16-12=4.0$J。$\dfrac12\times2.0\times v^2=4.0$より$v^2=4.0$、$v=$2.0m/s。

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運動(うんどう)方程式(ほうていしき)（新しいタブで開きます）$ma=F$で、一定(いってい)の力(ちから)$F$が物体(ぶったい)を距離(きょり)$x$だけ動(うご)かす間(あいだ)、等加速度直線運動(とうかそくどちょくせんうんどう)（新しいタブで開きます）の式(しき)$v^2-v_0^2=2ax$の両辺(りょうへん)に$\dfrac12m$をかけると、$\dfrac12mv^2-\dfrac12mv_0^2=max=Fx=W$となり、ΔK＝Wが導(みちび)かれる。

力(ちから)の向(む)きが物体(ぶったい)の動(うご)く向(む)きと違(ちが)うときも、仕事(しごと)の定義(ていぎ)$W=Fx\cos\theta$を使(つか)えば同(おな)じ関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。合力(ごうりょく)が複雑(ふくざつ)な動(うご)きをするときでも、仕事(しごと)を合計(ごうけい)して求(もと)めれば運動(うんどう)エネルギーの変化(へんか)が分(わ)かる。

運動(うんどう)エネルギーは、物体(ぶったい)がほかの物体(ぶったい)にする仕事(しごと)の量(りょう)としても考(かんが)えられる。動(うご)いているボールが静止(せいし)した物体(ぶったい)に当(あ)たって動(うご)かせるのは、ボールが運動(うんどう)エネルギーをもっているからである。