ド・モアブルの定理(ていり)と1のn乗根(じょうこん)

極(きょく)形式(けいしき)$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$の積(せき)を繰(く)り返(かえ)し使(つか)うと、n乗(じょう)は$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$になる。

とくに$r=1$のとき、$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$が成(な)り立(た)つ。これをド・モアブルの定理(ていり)という（nは整数(せいすう)）。

方程式(ほうていしき)$z^n=1$の解(かい)を1のn乗根(じょうこん)という。$z=\cos\theta+i\sin\theta$とおくと、ド・モアブルの定理(ていり)から$\cos n\theta+i\sin n\theta=1$になる。

これは$n\theta=360°\times k$（kは整数(せいすう)）のときに成(な)り立(た)つ。よって$\theta=\dfrac{360°}{n}\times k$（$k=0,1,\dots,n-1$）が解(かい)になる。

1のn乗根(じょうこん)は、単位(たんい)円(えん)周(しゅう)上(うえ)にあり、点(てん)1を頂点(ちょうてん)の1つとする正(せい)n角形(かくけい)の頂点(ちょうてん)を表(あらわ)すn個(こ)の複素数(ふくそすう)だ。

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例題(れいだい)：方程式(ほうていしき)$z^3=1$の解(かい)をすべて求(もと)めよ。

絶対値(ぜったいち)は1なので、偏角(へんかく)は$\theta=\dfrac{360°}{3}\times k=120°\times k$（$k=0,1,2$）になる。

$k=0$なら$z=1$、$k=1$なら$z=\cos120°+i\sin120°$、$k=2$なら$z=\cos240°+i\sin240°$だ。

3つの解(かい)は単位(たんい)円周上(えんしゅうじょう)に120°ずつ離(はな)れて並(なら)び、正三角形(せいさんかくけい)の頂点(ちょうてん)になる。

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ド・モアブルの定理(ていり)を、積(せき)の規則(きそく)を繰(く)り返(かえ)し使(つか)って確(たし)かめよう。

極(きょく)形式(けいしき)の積(せき)は、絶対値(ぜったいち)どうしを掛(か)け、偏角(へんかく)どうしを足(た)す規則(きそく)だった。

同(おな)じ$z=\cos\theta+i\sin\theta$をn回(かい)掛(か)けると、絶対値(ぜったいち)は$1^n=1$のまま、偏角(へんかく)はθをn回(かい)足(た)した$n\theta$になる。

だから$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$が成(な)り立(た)つ。

1のn乗根(じょうこん)が単位(たんい)円周上(えんしゅうじょう)に等間隔(とうかんかく)で並(なら)ぶのも同(おな)じ理由(りゆう)だ。絶対値(ぜったいち)が1のままn個(こ)の偏角(へんかく)$\dfrac{360°}{n}\times k$に分(わ)（新しいタブで開きます）かれるので、360°をn等分(とうぶん)した位置(いち)に点(てん)が並(なら)ぶ。