置換積分法(ちかんせきぶんほう)

∫f(ax＋b)dxのように、式(しき)の中(なか)にax＋bというまとまりがそのまま現(あらわ)れているとき、t＝ax＋bと置(お)くと計算(けいさん)が簡単(かんたん)になることが多(おお)い。これを置換積分法(ちかんせきぶんほう)という。

t＝ax＋bのとき、tをxで微分(びぶん)すると$\dfrac{dt}{dx}=a$なので、$dt=a\,dx$、つまり$\mathbf{dx=\dfrac{dt}{a}}$になる。xの式(しき)をtの式(しき)に変(か)えたら、dxも必(かなら)ずdtに書(か)き換(か)える。

もう1つの中心(ちゅうしん)は、√(a²－x²)の形(かたち)にx＝asinθと置(お)く方法(ほうほう)。$x=a\sin\theta$と置(お)くと$a^2-x^2=a^2(1-\sin^2\theta)=a^2\cos^2\theta$になり、根号(こんごう)がcosθだけの形(かたち)にほどける。

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例題(れいだい)：$\int (2x-1)^3\,dx$を求(もと)めよ。

$t=2x-1$と置(お)くと、$dt=2\,dx$より$dx=\dfrac{dt}{2}$。

もとの式(しき)に代入(だいにゅう)する（新しいタブで開きます）と、$\int t^3\cdot\dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{2}\int t^3\,dt$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^4}{4}+C=\dfrac{t^4}{8}+C$。

最後(さいご)にtを2x－1に戻(もど)して、$\mathbf{\dfrac{(2x-1)^4}{8}+C}$が答(こた)え。微分(びぶん)すると$(2x-1)^3$に戻(もど)ることを確(たし)かめておこう。

置換積分法(ちかんせきぶんほう)は、合成(ごうせい)関数(かんすう)（新しいタブで開きます）の微分(びぶん)法(ほう)の逆(ぎゃく)の操作(そうさ)になっている。$y=F(t)$、$t=g(x)$のとき、合成(ごうせい)関数(かんすう)の微分(びぶん)法(ほう)から$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}$が成(な)り立(た)つ。

この式(しき)の両辺(りょうへん)をxで積分(せきぶん)すれば、$y=F(g(x))+C$、つまり$\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C$になる。tを使(つか)って書(か)くと$\int f(t)\,dt$と同(おな)じ形(かたち)だ。

下(した)の図(ず)のように、x軸(じく)とt軸(じく)を2本(ほん)並(なら)べて目盛(めも)りの対応(たいおう)を見(み)ると、x軸(じく)の幅(はば)dxがt軸(じく)では何倍(なんばい)の幅(はば)dtになるかが分(わ)かる。t＝2x－1なら、t軸(じく)の目盛(めも)りの間隔(かんかく)はx軸(じく)の2倍(ばい)になる。

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