いろいろな関数(かんすう)の不定(ふてい)積分(せきぶん)

数学(すうがく)Ⅱでは多項式(たこうしき)関数(かんすう)の不定(ふてい)積分(せきぶん)を学(まな)んだ。数学(すうがく)Ⅲでは、三角関数(さんかくかんすう)・指数(しすう)関数(かんすう)・1／xという、微分(びぶん)でよく出(で)てくる関数(かんすう)の不定(ふてい)積分(せきぶん)を増(ふ)やしていく。考(かんが)え方(かた)は変(か)わらず、微分(びぶん)の公式(こうしき)を逆(ぎゃく)にたどるだけだ。

$\dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x$だったから、$\mathbf{\int \sin x\,dx = -\cos x+C}$。同(おな)じく$\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$だったから、$\mathbf{\int \cos x\,dx = \sin x+C}$になる。符号(ふごう)を取(と)り違(ちが)えやすいので、答(こた)えを微分(びぶん)して元(もと)の関数(かんすう)に戻(もど)るか確(たし)かめる習慣(しゅうかん)をつけよう。

$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x$だったので、$\mathbf{\int e^x\,dx = e^x+C}$。eˣは、数学(すうがく)Ⅲで新(あたら)しく習(なら)うただ1つの性質(せいしつ)（微分(びぶん)しても積分(せきぶん)しても形(かたち)が変(か)わらない）を持(も)つ関数(かんすう)だ。

$\dfrac{d}{dx}\log x=\dfrac{1}{x}$（x＞0）だったので、$\int \dfrac{1}{x}\,dx$はlog xになりそうだが、xが負(ふ)のときにはlog xが定義(ていぎ)できない。そこで$\mathbf{\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log|x|+C}$と絶対値(ぜったいち)をつけ、xの正負(せいふ)どちらでも使(つか)える形(かたち)にする。

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例題(れいだい)：$f(x)=2\sin x-3e^x+\dfrac{4}{x}$の不定(ふてい)積分(せきぶん)を求(もと)めよ。

不定(ふてい)積分(せきぶん)は項(こう)ごとに、和(わ)・差(さ)・定数(ていすう)倍(ばい)に分(わ)けて計算(けいさん)できる（数学(すうがく)Ⅱで学(まな)んだ性質(せいしつ)がそのまま使(つか)える）。

$2\sin x$の不定(ふてい)積分(せきぶん)は$-2\cos x$、$-3e^x$の不定(ふてい)積分(せきぶん)は$-3e^x$、$\dfrac{4}{x}$の不定(ふてい)積分(せきぶん)は$4\log|x|$。

3つを足(た)して、$\mathbf{-2\cos x-3e^x+4\log|x|+C}$が答(こた)えになる。各項(かくこう)を微分(びぶん)して、元(もと)の式(しき)に戻(もど)ることを確(たし)かめておこう。

x＞0のときは$\log x$の微分(びぶん)がたしかに$\dfrac{1}{x}$になる。問題(もんだい)はx＜0のときだ。x＜0では$\log x$自体(じたい)が定義(ていぎ)できないので、代(か)わりに$\log(-x)$を考(かんが)える。

合成(ごうせい)関数(かんすう)（新しいタブで開きます）の微分(びぶん)法(ほう)を使(つか)うと、$\dfrac{d}{dx}\log(-x)=\dfrac{1}{-x}\times(-1)=\dfrac{1}{x}$になる。つまりx＜0でも、微分(びぶん)すると同(おな)じ$\dfrac{1}{x}$に戻(もど)る原始(げんし)関数(かんすう)が存在(そんざい)する。

x＞0では$\log x$、x＜0では$\log(-x)$。この2つをまとめて書(か)くと$\log|x|$になる。下(した)の図(ず)のように、x＝2での接線(せっせん)の傾(かたむ)き（新しいタブで開きます）は$\dfrac{1}{2}$、x＝－2での接線(せっせん)の傾(かたむ)きは$-\dfrac{1}{2}$で、どちらもグラフの傾(かたむ)き（新しいタブで開きます）と$\dfrac{1}{x}$の値(あたい)が一致(いっち)している。

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