弦(げん)の固有振動(こゆうしんどう)

長(なが)さ$L$の弦(げん)の両端(りょうたん)を固定(こてい)すると、両端(りょうたん)はつねに変位(へんい)0の節(ふし)になる。両端(りょうたん)が節(ふし)という条件(じょうけん)を満(み)たす定常波(ていじょうは)だけが、弦(げん)の上(うえ)で安定(あんてい)して振動(しんどう)し続(つづ)けられる。これを弦(げん)の固有振動(こゆうしんどう)という。

最(もっと)も波長(はちょう)が長(なが)く振動数(しんどうすう)が低(ひく)い振動(しんどう)を基本振動(きほんしんどう)（$n=1$）といい、弦(げん)の中(なか)に腹(はら)が1つだけできる。弦(げん)の長(なが)さは半(はん)波長(はちょう)に等(ひと)しいので$\lambda_1=2L$、弦(げん)を伝(つた)わる波(なみ)の速(はや)さを$v$とすると、$f_1=v/\lambda_1=v/2L$が基本振動数(きほんしんどうすう)になる。

弦(げん)の中(なか)に腹(はら)が$n$個(こ)できる振動(しんどう)をn倍振動(ばいしんどう)といい、$\lambda_n=2L/n$、$f_n=v/\lambda_n=nf_1$（$n=1,2,3,\dots$）となる。弦(げん)の張力(ちょうりょく)が大(おお)きいほど、また弦(げん)の線(せん)密度(みつど)（単位(たんい)長(なが)さあたりの質量(しつりょう)）が小(ちい)さいほど、波(なみ)の伝(つた)わる速(はや)さ$v$は増(ま)す。

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例題(れいだい)1：長(なが)さ0.60mの弦(げん)を伝(つた)わる波(なみ)の速(はや)さが120m/sのとき、基本振動(きほんしんどう)の振動数(しんどうすう)は何(なん)Hzか。$\lambda_1=2\times0.60=1.2$mより$f_1=120\div1.2=$100Hz。

例題(れいだい)2：同(おな)じ弦(げん)の3倍(ばい)振動(しんどう)の波長(はちょう)は何(なん)mか。$\lambda_3=2\times0.60\div3=$0.4m。

例題(れいだい)3：同(おな)じ弦(げん)の2倍(ばい)振動(しんどう)の振動数(しんどうすう)は何(なん)Hzか。$f_2=2f_1=2\times100=$200Hz。張力(ちょうりょく)を強(つよ)くすると$v$が大(おお)きくなるため、同(おな)じ長(なが)さでも基本振動数(きほんしんどうすう)は高(たか)くなる。

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弦(げん)の両端(りょうたん)は固定(こてい)されているので、どんな振動(しんどう)でも両端(りょうたん)の変位(へんい)（新しいタブで開きます）はつねに0（節(ふし)）でなければならない。中途半端(ちゅうとはんぱ)な波長(はちょう)の波(なみ)は、両端(りょうたん)で変位(へんい)が0にならず、入射波(にゅうしゃは)と反射(はんしゃ)（新しいタブで開きます）波(は)がうまく重(かさ)なり合(あ)わずに打(う)ち消(け)されてしまう。

両端(りょうたん)が節(ふし)という条件(じょうけん)をちょうど満(み)たすのは、弦(げん)の長(なが)さLの中(なか)に半(はん)波長(はちょう)がきっちり整数(せいすう)個(こ)（n個(こ)）入(はい)る波長(はちょう)、つまり$\lambda_n=2L/n$の波(なみ)だけである。これらだけが定常波(ていじょうは)として弦(げん)の上(うえ)に安定(あんてい)して残(のこ)るのだ。

弦(げん)の張力(ちょうりょく)を強(つよ)くするほど、また弦(げん)を細(ほそ)く（軽(かる)く）するほど、波(なみ)が速(はや)く伝(つた)わるようになり、同(おな)じ長(なが)さの弦(げん)でも基本振動数(きほんしんどうすう)は高(たか)くなる。ギターやバイオリンの弦(げん)を強(つよ)く張(は)ったり、細(ほそ)い弦(げん)を使(つか)ったりすると音(おと)が高(たか)くなるのはこのためだ。