斜方投射(しゃほうとうしゃ)

物体(ぶったい)を水平(すいへい)と角(かく)$\theta$をなす斜(なな)め上向(うわむ)きに投(な)げ出(だ)す運動(うんどう)を斜方投射(しゃほうとうしゃ)という。水平(すいへい)投射(とうしゃ)（新しいタブで開きます）と合(あ)わせて放物運動(ほうぶつうんどう)と呼(よ)び、空気(くうき)の抵抗(ていこう)がなければ軌道(きどう)は放物線(ほうぶつせん)になる。

初速度(しょそくど)$v_0$を、水平(すいへい)成分(せいぶん)$v_0\cos\theta$と鉛直(えんちょく)成分(せいぶん)$v_0\sin\theta$に分(わ)ける。水平方向(すいへいほうこう)は力(ちから)が働(はたら)かないので等速(とうそく)直線(ちょくせん)運動(うんどう)、鉛直(えんちょく)方向(ほうこう)は初速度(しょそくど)$v_0\sin\theta$の鉛直(えんちょく)投(な)げ上(あ)げと同(おな)じ運動(うんどう)になる。

投(な)げた点(てん)を原点(げんてん)、鉛直(えんちょく)上向(うわむ)きを正(せい)にとると、$t$秒後(びょうご)の位置(いち)は$x=v_0\cos\theta\cdot t$、$y=v_0\sin\theta\cdot t-\dfrac12gt^2$。速度(そくど)の鉛直(えんちょく)成分(せいぶん)$v_y=v_0\sin\theta-gt$は、最高点(さいこうてん)で0になる。

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例題(れいだい)1：小球(しょうきゅう)を水平(すいへい)と30°の向(む)きに19.6m/sで投(な)げ上(あ)げた。鉛直(えんちょく)成分(せいぶん)は$19.6\sin30^\circ=9.8$m/s、水平(すいへい)成分(せいぶん)は$19.6\cos30^\circ\fallingdotseq17.0$m/s。最高点(さいこうてん)に達(たっ)する時間(じかん)は$9.8\div9.8=$1.0s。

例題(れいだい)2：例題(れいだい)1の最高点(さいこうてん)の高(たか)さは$9.8\times1.0-\dfrac12\times9.8\times1.0^2=$4.9m。同(おな)じ高(たか)さに戻(もど)るまでの時間(じかん)は上(のぼ)りの2倍(ばい)の2.0sなので、水平到達距離(すいへいとうたつきょり)は$17.0\times2.0\fallingdotseq$34m。

例題(れいだい)3：14m/sで45°に投(な)げると、水平到達距離(すいへいとうたつきょり)は$R=\dfrac{14^2\sin90^\circ}{9.8}=$20m。同(おな)じ速(はや)さで30°や60°に投(な)げると、どちらも$\dfrac{14^2\times0.866}{9.8}\fallingdotseq17$mで、同(おな)じ距離(きょり)になる。

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水平到達距離(すいへいとうたつきょり)は、水平(すいへい)成分(せいぶん)$v_0\cos\theta$と滞空(たいくう)時間(じかん)$\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$のかけ算(ざん)で、$R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}$となる。$\sin2\theta$が最大(さいだい)の1になるのは$2\theta=90^\circ$、つまり45°のときである。

角度(かくど)を大(おお)きくすると滞空(たいくう)時間(じかん)はのびるが、水平(すいへい)成分(せいぶん)が小(ちい)さくなる。角度(かくど)を小(ちい)さくすると、その逆(ぎゃく)だ。この2つのかけ合(あ)わせがいちばん大(おお)きくなるのが45°という角度(かくど)だ。

実際(じっさい)の球(きゅう)には空気(くうき)の抵抗(ていこう)が働(はたら)く。抵抗(ていこう)は運動(うんどう)を妨(さまた)げる向(む)きに働(はたら)き、速(はや)いほど大(おお)きいので、到達(とうたつ)距離(きょり)は計算(けいさん)より短(みじか)くなり、軌道(きどう)は落(お)ちぎわが急(きゅう)になる。速(はや)さに比例(ひれい)する抵抗(ていこう)を受(う)けて落(お)ちる物体(ぶったい)は、やがて一定(いってい)の速(はや)さ（終端速度(しゅうたんそくど)（新しいタブで開きます））になる。

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