複素数と図形
ゾウ先生αを原点に動かして考えるのがコツ。zからαを引いてから操作し、最後にαを足し戻そう。
30秒でつかむ
- 2点z1,z2間の距離は|z2−z1|で求まる。線分をm:nに内分する点wは、w＝(n z₁＋m z₂)／(m＋n)になる。
- 点zを原点のまわりにθ回転した点は、zに(cos（新しいタブで開きます）θ＋i sinθ)を掛けて求まる。
- 方程式|z−α|＝rは、点αを中心とする半径rの円を表す。
詳しく
公式
複素数（新しいタブで開きます）平面上の2点、を結ぶ線分の長さは、で求まる。
線分をm:nに内分する点wは、になる。位置ベクトル（新しいタブで開きます）の式とまったく同じ形だ。
点zを原点のまわりに角だけ回転した点は、で求まる。極形式（新しいタブで開きます）の積が回転を表すことを使っている。
点を中心に、点zを角だけ回転した点はになる。一度を原点に移してから回転し、戻す考え方だ。
方程式は、点から距離rにある点の集まりを表す。これは中心、半径rの円になる。
なぜそうなるか
方程式がなぜ円を表すのか、絶対値（新しいタブで開きます）の意味から確かめよう。
は、点zから点までの距離だった。
この距離がつねにrに等しい点zの集まりは、点を中心としてrだけ離れた点の集合になる。
これはまさに、中心、半径rの円の定義そのものだ。だからは円を表す。
回転の式も、極形式の積が原点のまわりの回転を表すという、前のページの性質をそのまま使っている。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/complex-numbers-and-figures/?from=print#quiz
z1＝1＋2i、z2＝4＋6iのとき、2点間の距離を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
距離は|z2－z1|で求まる。z2－z1＝3＋4iなので、|3＋4i|＝√(3²＋4²)＝5。z1＝2＋i、z2＝8＋7iを結ぶ線分を2:1に内分する点の実部を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
内分点（新しいタブで開きます）はw＝(n z₁＋m z₂)／(m＋n)。実部は(1×2＋2×8)／3＝18／3＝6。点z＝2を原点のまわりに90°回転した点はどれか。
- ◯ 2i
- ◯ －2
- ◯ －2i
- ◯ 2
正解：2i
90°回転はzに(cos90°＋i sin90°)＝iを掛ける。2×i＝2iになる。方程式|z－(1＋i)|＝3はどのような図形を表すか。
- ◯ 直線
- ◯ 中心3、半径1＋iの円
- ◯ 中心0、半径3の円
- ◯ 中心1＋i、半径3の円
正解：中心1＋i、半径3の円
|z－α|＝rは中心α、半径rの円を表す。α＝1＋i、r＝3なので中心1＋i、半径3の円になる。
単元のポイント
- 2点間の距離 |z2−z1|
- 内分点（新しいタブで開きます） w＝(n z₁＋m z₂)／(m＋n)（z1,z2をm:nに内分）
- 回転移動（新しいタブで開きます） zに(cosθ＋i sinθ)を掛けると原点のまわりにθ回転した点になる