気体(きたい)分子(ぶんし)の運動(うんどう)と圧力(あつりょく)

気体(きたい)の分子(ぶんし)は、容器(ようき)の中(なか)を速(はや)く飛(と)び回(まわ)り、壁(かべ)に衝突(しょうとつ)してははね返(かえ)っている。1回(かい)1回(かい)の衝突(しょうとつ)で壁(かべ)が受(う)ける力(ちから)はごく小(ちい)さいが、無数(むすう)の分子(ぶんし)がたえず当(あ)たるので、壁(かべ)は平均(へいきん)して一定(いってい)の力(ちから)で押(お)される。これが気体(きたい)の圧力(あつりょく)である。気体(きたい)の圧力(あつりょく)や温度(おんど)を分子(ぶんし)の運動(うんどう)から説明(せつめい)する考(かんが)え方(かた)を気体分子運動論(きたいぶんしうんどうろん)という。

質量(しつりょう)$m$の分子(ぶんし)が$N$個(こ)、体積(たいせき)$V$の容器(ようき)に入(はい)っているとき、分子(ぶんし)の速(はや)さの2乗(じょう)の平均(へいきん)を$\overline{v^2}$と書(か)くと、圧力(あつりょく)は$p=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$と表(あらわ)せる。

この式(しき)と状態方程式(じょうたいほうていしき)（新しいタブで開きます）$pV=nRT$を比(くら)べると、分子(ぶんし)1個(こ)の平均(へいきん)の運動(うんどう)エネルギーは$\dfrac{1}{2}m\overline{v^2}=\dfrac{3}{2}kT$となる。$k=\dfrac{R}{N_A}$≒1.38×10⁻²³J/Kをボルツマン定数(ていすう)という（$N_A$はアボガドロ定数(ていすう)（新しいタブで開きます））。分子(ぶんし)の平均(へいきん)の運動(うんどう)エネルギーは、気体(きたい)の種類(しゅるい)によらず絶対温度(ぜったいおんど)だけで決(き)まる。

例題(れいだい)1：分子(ぶんし)の速(はや)さの目安(めやす)として、$\sqrt{\overline{v^2}}$を二乗(にじょう)平均(へいきん)速度(そくど)という。モル質量(しつりょう)を$M$〔kg/mol〕とすると$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$と表(あらわ)せる。ヘリウム（$M=4.0\times10^{-3}$kg/mol）の300Kでの値(あたい)は、$R=8.3$J/(mol・K)として$\sqrt{\dfrac{3\times8.3\times300}{0.0040}}$を計算(けいさん)すると、およそ1.4×10³m/sという速(はや)さになる。

例題(れいだい)2：同(おな)じヘリウムを1200Kにすると、絶対温度(ぜったいおんど)は4倍(ばい)なので、二乗(にじょう)平均(へいきん)速度(そくど)は$\sqrt4=2$倍(ばい)の約(やく)2.7×10³m/sになる。速(はや)さは温度(おんど)そのものではなく、温度(おんど)の平方根(へいほうこん)に比例(ひれい)している点(てん)に注意(ちゅうい)。

例題(れいだい)3：300Kでの分子(ぶんし)1個(こ)の平均(へいきん)の運動(うんどう)エネルギーは、$\dfrac{3}{2}\times1.38\times10^{-23}\times300$を計算(けいさん)しておよそ6.2×10⁻²¹J。ヘリウムでも窒素(ちっそ)でも、同(おな)じ温度(おんど)なら同(おな)じ値(あたい)になる。

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1辺(へん)$L$の立方体(りっぽうたい)の容器(ようき)を考(かんが)える。速度(そくど)（新しいタブで開きます）の$x$成分(せいぶん)が$v_x$の分子(ぶんし)が、$x$軸(じく)に垂直(すいちょく)な壁(かべ)に弾性(だんせい)衝突(しょうとつ)（新しいタブで開きます）すると、$x$方向(ほうこう)の運動(うんどう)量(りょう)（新しいタブで開きます）は$mv_x$から$-mv_x$に変(か)わり、変化(へんか)の大(おお)きさは$2mv_x$。壁(かべ)は同(おな)じ大(おお)きさの力積(りきせき)を分子(ぶんし)から受(う)ける。

この分子(ぶんし)は、往復(おうふく)の距離(きょり)$2L$を進(すす)むごとに同(おな)じ壁(かべ)に1回(かい)当(あ)たるので、1秒(びょう)あたりの衝突(しょうとつ)は$\dfrac{v_x}{2L}$回(かい)。壁(かべ)が受(う)ける平均(へいきん)の力(ちから)は$2mv_x\times\dfrac{v_x}{2L}=\dfrac{mv_x^2}{L}$で、$N$個分(こぶん)を合(あ)わせると$\dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$になる。

分子(ぶんし)はどの向(む)きにもかたよらず飛(と)ぶので$\overline{v_x^2}=\dfrac{1}{3}\overline{v^2}$。力(ちから)を壁(かべ)の面積(めんせき)$L^2$で割(わ)り、$L^3=V$を使(つか)うと$p=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$が導(みちび)ける。分子(ぶんし)の数(かず)が多(おお)いほど、速(はや)いほど、圧力(あつりょく)が大(おお)きくなることがわかる。

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