RLC直列回路(ちょくれつかいろ)のインピーダンスと共振(きょうしん)

抵抗(ていこう)R・コイルL・コンデンサーCを直列(ちょくれつ)につないだ回路(かいろ)に交流(こうりゅう)（新しいタブで開きます）を流(なが)すと、同(おな)じ電流(でんりゅう)が3つの部分(ぶぶん)を流(なが)れる。抵抗(ていこう)の電圧(でんあつ)は電流(でんりゅう)と同位相(どういそう)、コイルの電圧(でんあつ)は電流(でんりゅう)よりπ/2進(すす)み、コンデンサーの電圧(でんあつ)は電流(でんりゅう)よりπ/2遅(おく)れる（コイルの電圧(でんあつ)より180°反対(はんたい)の位相(いそう)）。位相(いそう)がそろわないので、3つの電圧(でんあつ)の実効値(じっこうち)はそのまま足(た)し算(ざん)できない。

抵抗(ていこう)の電圧(でんあつ)（電流(でんりゅう)と同位相(どういそう)）を1辺(へん)、コイルとコンデンサーの電圧(でんあつ)の差(さ)（反対(はんたい)の位相(いそう)なので差(さ)になる）をもう1辺(へん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)で合成(ごうせい)すると、電源(でんげん)の電圧(でんあつ)の実効値(じっこうち)になる。この関係(かんけい)から、電源(でんげん)の実効値(じっこうち)を電流(でんりゅう)の実効値(じっこうち)で割(わ)った値(あたい)をインピーダンスZとすると、$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$（$X_L=\omega L$、$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$）が成(な)り立(た)ち、$I=\dfrac{V}{Z}$（I、Vは実効値(じっこうち)）で電流(でんりゅう)の実効値(じっこうち)が求(もと)まる。

$X_L$と$X_C$がちょうど等(ひと)しくなる角周波数(かくしゅうはすう)では、2つの効果(こうか)が打(う)ち消(け)し合(あ)い、$Z=R$（最小(さいしょう)）という状態(じょうたい)だ。これが共振(きょうしん)で、打(う)ち消(け)し合(あ)う角周波数(かくしゅうはすう)を$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$より求(もと)めると$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$になる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)1：抵抗(ていこう)100Ω・誘導(ゆうどう)リアクタンス25Ω・容量(ようりょう)リアクタンス100Ωを直列(ちょくれつ)につないだ回路(かいろ)のインピーダンスはいくらか。$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=\sqrt{100^2+(25-100)^2}=\sqrt{10000+5625}=$125Ω。

例題(れいだい)2：例題(れいだい)1の回路(かいろ)に実効値(じっこうち)100Vの交流(こうりゅう)電源(でんげん)をつないだとき、電流(でんりゅう)の実効値(じっこうち)はいくらか。$I=\dfrac{V}{Z}=\dfrac{100}{125}=$0.8A。

例題(れいだい)3：自己(じこ)インダクタンス（新しいタブで開きます）0.50H・電気(でんき)容量(ようりょう)200μFのコイルとコンデンサーを使(つか)うとき、共振(きょうしん)する角周波数(かくしゅうはすう)ω₀はいくらか。$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.50\times200\times10^{-6}}}=$100rad/s。このとき$X_L=X_C=50$Ωで、抵抗(ていこう)を100Ωとすると$Z=R=$100Ωになる。この回路(かいろ)にも例題(れいだい)2と同(おな)じ実効値(じっこうち)100Vの交流(こうりゅう)電源(でんげん)をつないだとすると、電流(でんりゅう)の実効値(じっこうち)は$\dfrac{100}{100}=$1.0A（例題(れいだい)2の0.8Aより大(おお)きい、電流(でんりゅう)が最大(さいだい)になる状態(じょうたい)）。

（押すと拡大して表示します）

前(まえ)のページで見(み)たように、コイルの電圧(でんあつ)は電流(でんりゅう)よりπ/2進(すす)み、コンデンサーの電圧(でんあつ)は電流(でんりゅう)よりπ/2遅(おく)れる。「電流(でんりゅう)よりπ/2進(すす)む」ものと「電流(でんりゅう)よりπ/2遅(おく)れる」ものは、互(たが)いにπ（180°）だけ位相(いそう)がずれているので、ちょうど反対(はんたい)方向(ほうこう)を向(む)くベクトルのように打(う)ち消(け)し合(あ)う。これが、3つの電圧(でんあつ)を単純(たんじゅん)に足(た)せない理由(りゆう)であり、$X_L-X_C$という「差(さ)」だけが残(のこ)る理由(りゆう)でもある。

$X_L=X_C$になる角周波数(かくしゅうはすう)では、コイルとコンデンサーの電圧(でんあつ)が完全(かんぜん)に打(う)ち消(け)し合(あ)い、電源(でんげん)の電圧(でんあつ)はすべて抵抗(ていこう)にかかる状態(じょうたい)になる。インピーダンスは最小(さいしょう)のR１つになるので、同(おな)じ電源(でんげん)の実効値(じっこうち)に対(たい)して電流(でんりゅう)の実効値(じっこうち)が最大(さいだい)になる仕組(しく)みだ。ラジオの同調(どうちょう)（選(えら)びたい周波数(しゅうはすう)だけを強(つよ)く受信(じゅしん)する仕組(しく)み）など、共振(きょうしん)は特定(とくてい)の周波数(しゅうはすう)を選(えら)び出(だ)す回路(かいろ)に使(つか)われている。

自己(じこ)誘導(ゆうどう)・相互(そうご)誘導(ゆうどう)（新しいタブで開きます）の仕組(しく)みそのものは単元(たんげん)「電磁誘導(でんじゆうどう)（新しいタブで開きます）」で扱(あつか)う。このページでは、自己(じこ)誘導(ゆうどう)によって生(しょう)じるリアクタンスが、直列回路(ちょくれつかいろ)（新しいタブで開きます）の中(なか)でどのように合成(ごうせい)されるかに絞(しぼ)って確(たし)かめた。