ボーアの原子(げんし)モデル

前(まえ)のページで見(み)たように、水素(すいそ)原子(げんし)が出(だ)す光(ひかり)の波長(はちょう)（新しいタブで開きます）には規則(きそく)性(せい)があり、電子(でんし)のもつエネルギーがとびとびの値(あたい)（量子(りょうし)化(か)されている）であることを示(しめ)していた。デンマークのボーアは、次(つぎ)の2つの仮定(かてい)（量子(りょうし)条件(じょうけん)・振動数(しんどうすう)条件(じょうけん)）をもとに、この規則(きそく)性(せい)を説明(せつめい)するモデルを1913年(ねん)に提案(ていあん)した。

量子(りょうし)条件(じょうけん)：電子(でんし)は、円軌道(えんきどう)を回(まわ)る電子(でんし)の角運動(かくうんどう)量(りょう)$mvr$が$\dfrac{h}{2\pi}$の整数(せいすう)倍(ばい)になる軌道(きどう)だけを、光(ひかり)を出(だ)さずに回(まわ)り続(つづ)けることができる。式(しき)で書(か)くと$mvr=n\dfrac{h}{2\pi}$（$n=1,2,3,\cdots$）となる。$n$を量子数(りょうしすう)という。

振動数(しんどうすう)条件(じょうけん)：電子(でんし)がエネルギー$E_n$の軌道(きどう)からエネルギー$E_m$の軌道(きどう)（$E_n>E_m$）へ移(うつ)るとき、その差(さ)に等(ひと)しいエネルギーをもつ光子(こうし)を放出(ほうしゅつ)する。光子(こうし)のもつエネルギーは振動数(しんどうすう)$\nu$を使(つか)って$h\nu$と表(あらわ)されるので、$h\nu=E_n-E_m$が成(な)り立(た)つ。これを満(み)たさない光(ひかり)のやり取(と)りは起(お)こらない。

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電子(でんし)（電荷(でんか)（新しいタブで開きます）－e、質量(しつりょう)m）が、陽子(ようし)（新しいタブで開きます）（電荷(でんか)＋e）のまわりを半径(はんけい)rで等速(とうそく)円運動(えんうんどう)（新しいタブで開きます）しているとする。クーロン力(りょく)（新しいタブで開きます）が向心力(こうしんりょく)になるので$\dfrac{ke^2}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$（kはクーロンの法則(ほうそく)の定数(ていすう)）。これと量子(りょうし)条件(じょうけん)$mvr=n\dfrac{h}{2\pi}$を連立(れんりつ)させて$v$を消去(しょうきょ)すると、軌道(きどう)半径(はんけい)は$r_n=n^2a_0$（$a_0=\dfrac{h^2}{4\pi^2mke^2}$）となる。$a_0$はボーア半径(はんけい)とよばれ、a₀≒0.053nmである。

例題(れいだい)1：n＝2の軌道(きどう)半径(はんけい)はいくらか。$r_2=2^2a_0=4\times0.053=$0.212nm。n＝1の4倍(ばい)になる。

力学的(りきがくてき)エネルギー（新しいタブで開きます）（運動(うんどう)エネルギー＋クーロン力(りょく)による位置(いち)エネルギー）を同(おな)じように計算(けいさん)すると、$E_n=-\dfrac{ke^2}{2a_0}\times\dfrac{1}{n^2}$となり、$E_1=-13.6$eVを使(つか)うと$E_n=-13.6/n^2$eVとまとめられる。マイナスの符号(ふごう)は、電子(でんし)が原子核(げんしかく)に束縛(そくばく)されていることを表(あらわ)す。

例題(れいだい)2：n＝2のエネルギーはいくらか。$E_2=-13.6/2^2=$－3.4eV。n＝1（－13.6eV）より高(たか)い（0に近(ちか)い）エネルギーになる。

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それまでの電磁気学(でんじきがく)では、円運動(えんうんどう)する電子(でんし)のような加速度(かそくど)（新しいタブで開きます）運動(うんどう)をする荷電(かでん)粒子(りゅうし)は、絶(た)えず電磁波(でんじは)（光(ひかり)）を放出(ほうしゅつ)してエネルギーを失(うしな)い、らせんを描(えが)きながら原子核(げんしかく)に落(お)ち込(こ)んでしまうはずだった。これでは原子(げんし)は一瞬(いっしゅん)で壊(こわ)れてしまい、安定(あんてい)に存在(そんざい)できない。

ボーアは、量子(りょうし)条件(じょうけん)を満(み)たす軌道(きどう)にいる間(あいだ)は電子(でんし)は光(ひかり)を放出(ほうしゅつ)しないと仮定(かてい)することで、原子(げんし)が安定(あんてい)に存在(そんざい)できることを説明(せつめい)した。この仮定(かてい)はそれまでの物理学(ぶつりがく)にはない大胆(だいたん)なものだったが、計算(けいさん)で求(もと)めた水素(すいそ)原子(げんし)のエネルギー準位(じゅんい)が、実際(じっさい)に観測(かんそく)されていたスペクトル系列(けいれつ)の波長(はちょう)をよく再現(さいげん)したことで受(う)け入(い)れられていった。